Simon Diner

 

 

BEAUTE

et ESTHETIQUE MATHEMATIQUE

 

 

Il faut se garder

du hasard

comme du calcul

 

Peter MONDRIAN

 

 

Deux choses menacent le monde,

l’ordre et le désordre.

 

Paul VALERY

 

 

 

 

Ce que je cherche avant tout est l’expression

 

Henri MATISSE

 

 

 

 

 

 

Le problème des rapports entre beauté, harmonie et propriétés mathématiques a été largement posé et illustré dans l'Antiquité. Les fondements d'une démarche faisant jouer un rôle central aux proportions, aux relations numériques, aux propriétés de symétrie sont élaborés dans la "pensée pythagoricienne" et relayés par le platonisme vers la culture occidentale.

Le rôle, contesté ou non, du nombre d'or, l'utilisation des tracés régulateurs par les peintres, les problèmes de la perspective, et la pratique et la théorie de l'architecture sont les manifestations les plus connues de recettes mathématiques pour l'obtention de la beauté.

Il y a là un immense domaine où l'art et la mathématique se côtoient, s'observent, se fécondent mutuellement. Ce domaine s'enrichit de siècles en siècles des progrès des mathématiques et de la pratique des artistes.

Brillamment illustrée par Albrecht Dürer et Leonardo da Vinci cette synergie entre art et science va souffrir de l'isolement progressif des deux domaines, au point de ne pas constituer aujourd'hui une zone bien explorée et bien intégrée de la culture.

Néanmoins les besoins de l'informatique et de l'intelligence artificielle sont en passe de remettre au premier plan la mathématisation de l'art, de l'image numérique à la musique informatique. Mais l'éducation générale dans ce domaine, reste totalement à développer. Il y a là des niches prodigieusement riches pour l'enseignement parallèle de l'art et des mathématiques.

Cet enseignement s'il était développé devrait révéler que l'art ne fait pas tant appel à la précision numérique ou logique des mathématiques qu'à ces aspects moins connus et plus délicats que l'on pourrait globalement appeler , "les mathématiques qualitatives". Marquant par là, après tant de siècles, le retour en force du qualitativisme d'Aristote, dont le grand mathématicien René Thom s'est fait l'apôtre. Très sommairement caractérisé ce mouvement peut être appelé "la disparition du nombre au profit du paysage".

Entre l'art et les mathématiques, le rapport est le même qu'entre la physique et les mathématiques. Une modélisation sans cesse battue en brèche par la réalité. Ce n'est pas le monde qui est mathématique, c'est notre esprit qui cherche à l'être. C'est nous qui cherchons à enserrer le désordre du monde dans le filet de l'ordre des mathématiques. Avec plus ou moins de bonheur.

Si bien qu'en définitive l'art comme les mathématiques nous apprennent  plus sur nous-mêmes et notre esprit que sur la Nature. En cherchant à mesurer la beauté, on cherche en fait à caractériser la lisibilité. C'est là l'intérêt des discours sur l'art en terme de complexité ou d'entropie. Des discours qui rencontrent des discours analogues dans les sciences cognitives, en particulier celles de la perception. Une certaine unité de pensée et de formalisation se met en place au carrefour des sciences cognitives et des sciences du calcul. Cette démarche rejaillit sur les conceptions de l’esthétique.

L’esthétique n’est pas seulement l’étude de la beauté. Pas plus que l’étude philosophique de la beauté et du goût.

Aux fins de formalisation, nous considérerons  l’esthétique comme la science

générale de l’expression et de l’expressivité, dans son lien avec le déclenchement d’une émotion ou d’un sentiment. Suivant en cela l’attitude de A.F. Losev dans sa monumentale « Histoire de l’esthétique antique »[1]. Au risque de voir l’esthétique flirter avec la « Sémiotique visuelle »[2] ou la Sémiotique[3] en général . Mais pourquoi pas ?

En fait l’esthétique flirte sans cesse avec la sémiotique, et ce depuis Peirce[4].

De notre point de vue, l’esthétique comme doctrine de l’expressivité, occupe par rapport à la sémiotique, doctrine de l’expression (du sens), la même position que les principes optimaux de la mécanique ou le contrôle optimal par rapport à la mécanique. C’est le rôle central de l’optimalité  qui distingue le domaine esthétique à l’intérieur de la sémiotique. Il ne faudra pas s’étonner alors de voir l’optimalité jouer un rôle décisif dans la formulation mathématique de critères esthétiques.

Historiquement, la formulation de l’esthétique comme science de l’expression et de l’expressivité, s’impose lorsque l’on cherche à formuler une esthétique pour des oeuvres largement situées hors de notre cadre culturel habituel. Nous avons affaire à un terme dont l’usage s’est répandu à partir du moment  où le lien qui associait l’art à la « représentation » a commencé à se relâcher. L’intérêt pour les « arts primitifs » n’a pas peu contribué à ce repli stratégique. On peut même se demander si ce n’est pas un mouvement idéologique de fond, lié à une certaine révolte contre la société industrielle ainsi qu’ à un besoin de réévaluer les manifestations de cette société, qui est à l’origine des mutations esthétiques successives  de l’art moderne depuis le Symbolisme jusqu’au Minimalisme.

L’esthétique c’est l’expression ou l’expressivité. C’est la science de l’expression en général et pas seulement l’étude de la beauté. C’est l’étude de tous les types possibles de l’expression de l’intérieur par l’extérieur, la science générale de l’expressivité.

L’esthétique ne s’intéresse pas à n’importe quelle expressivité, mais à celle qui s’impose à notre regard, nous fait s’immerger en elle, nous libère de toute autre représentation et déclenche un sentiment, nous la faisant considérer comme un sujet en soi. L’expression esthétique est le sujet d’une expression indépendante, d’un attachement désintéressé. Cette indépendance et ce désintéressement du sentiment esthétique ne contrarie en rien l’aspect utilitaire ou fonctionnel des objets et bien au contraire le renforce. L’aspect esthétique désintéressé est toujours le résultat et la concentration de relations socio-historiques, en particulier socio-politiques et économiques.

Cependant la propriété esthétique la plus naturelle est attachée à un sentiment d’intelligibilité explicite ou diffuse. La confusion ou l’incompréhension ne sont pas naturellement la cause d’un plaisir esthétique normal.

Ce sont essentiellement différentes conceptions de l’intelligibilité qui sont à l’origine des différentes catégories conceptuelles de l’esthétique.

Depuis les Grecs l’intelligibilité est associé à l’ordre et à la symétrie. L’ordre et la symétrie s’incarnent dans le nombre et les proportions, et transcendent la réalité terrestre  en manifestant une oeuvre divine. Intelligibilité, esthétique, transcendance et mystique font bon ménage. C’est le cas chez les pythagoriciens, c’est évident chez Platon (Timée). Plotin et le néo-platonisme relayent ce sentiment vers la culture chrétienne occidentale.

Le néo-platonisme par ailleurs contribue fortement à assimiler intelligibilité et unité. Tout procède de l’Un, y compris la beauté. L’Un et la Beauté sont synonymes et traduisent l’harmonie divine. Toute beauté peut être considérée comme une théophanie, manifestation divine dans un phénomènes naturel.

Au Moyen Age, la beauté réside dans la manifestation de l’intelligibilité du divin. U. Eco écrit : «  Le goût médiéval n’avait affaire ni avec l’autonomie de l’art, ni avec l’autonomie de la nature. Il impliquait plutôt une appréhension de toutes les relations, imaginaires et supranaturelles, établies entre l’objet contemplé et un cosmos ouvert sur le transcendant. Il signifiait le discernement dans l’objet concret de la réflexion ontologique et de la participation de l’être et du pouvoir de Dieu » [5].

Le fameux quadrivium médiéval : arithmétique, musique, géométrie et astronomie, assemble quatre disciplines qui sont censées produire une ascension de l’âme. Ascension recherchée avant tout par la musique, qui selon Boethius participe à l’unification de l’univers. La musique permet à l’âme de participer au divin et l’âme s’adapte aux proportions de l’univers par l’exercice de la mimesis, qui est l’intelligibilité des chose de ce monde par leur conformité aux choses divines. Tout comme chez Platon la beauté est l’intelligence du reflet de la forme dans l’objet de ce monde. Les mathématiques sont pour lui un intermédiaire dans l’ascension vers les Formes.

 

Esthétique et rationalité

 

Aux Temps Modernes l’intelligibilité prend le visage de la rationalité, sous l’influence du développement des sciences. Rationalité qu’incarnent à nouveau les mathématiques. Une rationalité à l’œuvre depuis longtemps dans la théorie de la musique, une rationalité source de l’harmonie.

La musique baroque manifeste au plus haut point cette esthétique de la rationalité. Une rationalité des passions formulée par Descartes et incarnée par J.S. Bach. Une esthétique à la mesure de l’ordre dans le monde révélé par Galilée et Newton. Une esthétique de l’ordre confortée par la montée en puissance des monarchies européennes.

Tous les penseurs et mathématiciens de Descartes à Leibniz, de Gassendi à Euler voient dans la musique l’expression d’une esthétique rationnelle architecturée  par les mathématiques.

Le rationalisme est à l’œuvre dans la musique baroque à travers la doctrine des affections, selon laquelle les émotions humaines sont intelligibles par catégorisation en stéréotypes clairs et distincts, comme la joie, la colère, l’amour, la haine....Ces émotions sont traduisibles en motifs musicaux, que le compositeur combine pour traduire ses sentiments. La nature statique et schématique de ce système et le fait que c’était là un produit typique de l’environnement rationnel du XVII ème siècle est justement remarqué par Bukofzer, historien de la musique baroque. Il écrit : « les moyens de la représentation verbale dans la musique baroque n’étaient pas directs, psychologiques ou émotionnels, mais indirects, c’est à dire intellectuels et imagés. »[6]. La composition musicale était un processus intellectuel plutôt qu’une expression intuitive de l’émotion. L’attention était dirigée vers la manipulation de règles et de mots, et par la traduction rationnelle d’idées extra musicales par la notation musicale. Jacop Opper ajoute : «  La doctrine des affections constitue la rhétorique musicale du baroque. C’est un vocabulaire systématique qui a son origine d’une part dans l’ancien art oratoire et dans ses figures linguistiques, et d’autre part dans la psychologie mécaniste du 17 éme siècle. »[7].

Une telle rigueur du système des formes s’exprime aussi dans la tragédie classique, genre littéraire pilote de l’âge baroque.

  « La juste cadence imposait au discours la double symétrie de la césure et de la rime, et le regard du roi placé au point de perspective ordonnait tout le spectacle en suivant l’axe central du théâtre »

Michel Baridon. Les deux grands tournants du siècle des lumières.[8].

 

L’esthétique des raisons est donc une esthétique de l’intelligibilité mécaniste.

En écrivant le célèbre article « Beau » de l’Encyclopédie en 1753 Diderot ne se démarque pas de ce rationalisme baroque, tout en tentant de le justifier comme une donnée naturelle.

«  Voilà donc nos besoins et l’exercice le plus immédiat de nos facultés, qui conspirent aussitôt que nous naissons à nous donner des idées d’ordre, d’arrangement, de symétrie, de mécanisme, de proportion, d’unité.... »

 

Et pourtant l’Esprit du Siècle a déjà changé.

Au mécanisme strict succède une conception plastique des phénomènes  de la nature et de la pensée. C’est que la mécanique n’est plus la science dominante (avec l’astronomie) et que les sciences de la vie s’avancent sur le devant de la scène. La mécanique elle même se transforme ; la formulation au XVIII ème siècle de principes variationnels (Maupertuis) met l’optimalité au cœur de la mécanique au dépens de l’ordre rigoureux des équations du mouvement. Au principe de simplicité incarné par l’ordre ou la symétrie, succèdent des conceptions faisant part à l’optimalité ou à la perfection. A l’affirmation d’une rigueur succède la mise en place d’une dialectique, d’un compromis.

Locke, Buffon, Linné, Boyle, Lavoisier sont les figures marquantes de ce siècle de l’histoire naturelle, de la botanique, de la physiologie et de la chimie.

A la rigueur des formes l’esthétique de ce siècle sensible substitue l’intelligibilité du foisonnement et de la richesse des formes, ce qui s’exprime naturellement par un compromis entre variété et mise en ordre.

Francis Hutcheson, célèbre philosophe de l’esthétique, formule en 1725 une telle dialectique des tendances contraires[9].

 

« Les figures qui suscitent en nous les idées de beauté semblent être celles où l’on trouve une uniformité au sein de la variété. Ce que nous appelons beau dans les objets, pour s’exprimer dans un style mathématique, semble résider dans un rapport composé d’uniformité et de variété. »

 

Un mouvement historique s’accomplit sous nos yeux. Il faut en saisir les facettes pour comprendre la naissance d’une esthétique moderne.

A la Renaissance, le renouvellement du contact avec la pensée antique et l’individualisme lié à l’essor économique font apparaître la notion d’individu créateur. Les notions de beau et de création s’entrelacent. On a souvent tendance à rattacher la naissance de l’esthétique moderne  à la reconnaissance d’un rôle de la sensibilité et de l’imagination dans la création artistique au détriment de la raison ; ce qui correspond d’ailleurs à la manière traditionnelle de présenter la naissance du romantisme.

Peut être serait-il plus exact d’associer la genèse de l’esthétique moderne à un changement de contenu du terme de raison ? Il faudrait mettre en lumière le passage d’une raison spéculative et intellectuelle, source de règles et préceptes exactement formulés, à une notion plus souple et plus ouverte, « raison poétique », compatible avec les idées de création et de valeur, essentielles à l’esthétique moderne, autrement dit le passage d’une « raison constituée » à une « raison constituante » selon la terminologie de Lalande.

L’activité artistique est alors théorisée non plus comme imitation mais comme création, produit de la subjectivité irremplaçable de l’artiste. La constitution de la subjectivité créatrice ne doit pas s’entendre comme simple substitution à la raison du sentiment et de l’imagination. La promotion du sensible et de l’imaginaire ne saurait impliquer l’abandon de toute rationalité sans supprimer du même coup la possibilité de l’activité artistique telle justement que l’a théorisé l’esthétique moderne.

Comme dans bien d’autre cas les particularités de l’évolution historique révèlent la présence de plusieurs « acteurs » qui dominent tour à tour. La réalité est dans un compromis, une négociation entre ces acteurs, réalisant un certain type d’optimalité.

 

 

Expressivité, intelligibilité, simplicité.

 

Leibniz, qui en matière d’esthétique s’en tenait à la réalisation de l’unité par l’accord des proportions entre composants, avait pourtant formulé des idées sur l’optimalité sans les appliquer à l’esthétique.

Leibniz est au tournant d’une révolution conceptuelle considérable qui va nous mener jusqu’au cœur de notre sujet de la formalisation mathématique de l’esthétique. Grégory Chaitin[10], un des auteurs de la théorie de l’information algorithmique, notre outil privilégié, a remarqué récemment cet aspect essentiel de la pensée de Leibniz.

Il a eu son attention éveillée par une remarque du grand mathématicien Hermann Weyl[11] en 1932 : « L’assertion selon laquelle la nature est gouvernée par des lois strictes n’a aucun contenu si l’on n’ajoute pas qu’elle est gouvernée par des lois mathématiques simples...Que cette notion de loi devient vide si des complications arbitraires sont permises voilà qui a déjà été remarqué par Leibniz dans son Discours de Métaphysique. Ainsi la simplicité devient un principe à l’œuvre dans les sciences de la nature. »

Reproduisons le texte si célèbre de Leibniz qui prend dans cette optique de l’esthétique mathématique et de la théorie algorithmique de l’information une résonance toute nouvelle.

A l’ordre Leibniz substitue l’intelligibilité par la simplicité. Ce n’est comme nous le verrons, rien moins, que le sujet de notre article.

 

«  Pour ce qui est de la simplicité des voyes de Dieu, elle a lieu proprement à l’égard des moyens, comme au contraire la variété, richesse ou abondance y a lieu à l’égard des fins ou effects. Et l’un doit estre en balance avec l’autre, comme les frais destinés pour un bastiment avec la grandeur et la beauté qu’on y demande. Il est vrai que rien ne couste à Dieu, bien moins qu’à un Philosophe qui fait des hypothèses pour la fabrique de son monde imaginaire, puisque Dieu n’a que des décrets à faire, pour faire naistre un monde réel ; mais en matière de sagesse les decrets ou hypothèses tiennent lieu de dépense à mesure qu’elles sont plus indépendantes les unes des autres : car la raison veut qu’on évite la multiplicité dans les hypothèses et principes, à peu près comme le système le plus simple est toujours préféré en Astronomie. »

 

Leibniz en fin connaisseur de la philosophie scholastique se fait là l’écho de Guillaume d’Ockham, qui avec son fameux « rasoir » disait qu’il ne fallait pas faire d’hypothèses complexes là où l’on pouvait en faire de simples. Mais la grande originalité de Leibniz est de mettre en balance dialectique la simplicité des moyens avec la richesse des fins. La simplicité des moyens rentre pour ainsi dire dans le calcul de l’optimum.

 

«  ....non seulement rien n’arrive dans le monde, qui soit absolument irregulier, mais on ne sçaurait memes rien feindre de tel. Car supposons par exemple que quelcun fasse quantité de points sur le papier à tout hazard, comme font ceux qui exercent l’art ridicule de la Géomancie, je dis qu’il est possible de trouver une ligne géométrique dont la motion soit constante et uniforme suivant une certaine règle, en sorte que cette ligne passe par tous ces points, et dans le même ordre que la main les avoit marqués. Et si quelcun traçoit tout d’une suite une ligne qui seroit tantost droite, tantost cercle, tantost d’une autre nature, il est possible de trouver une notion ou regle ou equation commune à tous les points de cette ligne en vertu de la quelle ces mêmes changements doivent arriver. Et il n y a par exemple point de visage dont le contour ne fasse partie d’une ligne Geometrique et ne puisse estre tracé tout d’un trait par un certain mouvement reglé. Mais quand une regle est fort composée, ce qui luy est conforme passe pour irrégulier. Ainsi on peut dire que de quelque maniere que Dieu auroit créé le monde, il auroit tousjours esté régulier et dans un certain ordre general. Mais Dieu a choisi celuy qui est le plus parfait, c’est à dire celuy qui est en même temps le plus simple en hypotheses et le plus riche en phenomenes, comme pourroit estre une ligne de geometrie dont la construction seroit aisée et les proprietes et effects seroient fort admirables et d’une grande étendue. »

 

Si c’est là le meilleur des mondes possibles s’étonne Candide, alors à quoi ressemblent les autres. L’horreur n’est elle déjà pas à son comble ! Voltaire n’a pas peu contribué à rendre célèbres les thèses de Leibniz tout en les travestissant. Car l’essentiel n’est pas dans une optimalité absolue mais dans l’optimalité qui s’exprime par la dialectique variété/simplicité.

Il semble que la trop grande richesse de la réflexion philosophique de Leibniz ait empêché les commentateurs de donner à ce texte l’importance qu’il mérite, à la lumière en particulier des théories actuelles de la complexité et de la calculabilité. C’est en particulier le cas de Laurence Bouquiaux[12] dans une thèse pourtant consacrée à l’examen des rapports de la pensée de Leibniz avec ce qu’elle dénomme « la nouvelle science ».

Il est surprenant que ce texte prenne sa pleine valeur dans le contexte d’une esthétique mathématique. Ceci est dû à ce que si Leibniz ne définit peut–être pas la nature du monde ou de la beauté, il définit à coup sûr ce que l’on peut considérer comme l’expressivité : richesse de l’expression face à la simplicité des moyens. C’est là en fait l’idée de base d’une mathématisation de l’esthétique. Elle sera utilisée.

Nous ne disons pas là que Leibniz a presque inventé la théorie algorithmique de l’information , comme le dit plaisamment Gregory Chaitin.  Mais il a formulé une idée essentielle sur la compression des données que seule l’ère informatique saura exprimer avec la rigueur mathématique souhaitable.

 

 

 

Birkhoff et Moles. Dialectique de la complexité et de la raison, de l’imagination et de l’intelligibilité.

 

En 1927, Georges David Birkhoff tente, sans posséder à l’époque les outils mathématiques nécessaires, de donner en des termes leibniziens (sans d’ailleurs s’en rendre compte) la définition d’une mesure esthétique. Ce n’est pas par hasard s’il note que ses idées sont très proches de la définition de la beauté donnée par le philosophe hollandais Franciscus Hemsterhuis en 1769 dans sa « Lettre sur la Sculpture » : «  Le Beau est ce qui provoque le plus grand nombre d’idées dans le minimum de temps ». Richesse d’idées et économie de temps, donc de moyens. Comme si Leibniz était passé par là.

Dans un article remarquable écrit en français en 1927, ce très grand mathématicien américain, qui consacrait sa retraite à voyager pour approfondir sa connaissance de l’art, définit clairement un programme d’esthétique mathématique :

 

« L’expérience esthétique type peut être regardée comme renfermant trois moments successifs :

  1° un effort préliminaire nécessaire pour bien saisir l’objet, et proportionnel à la complexité (C) de l’objet ;

  2° le sentiment du plaisir ou mesure esthétique (M) qui récompense cet effort préliminaire ;

  3° ensuite la perception consciente que l’objet jouit d’une certaine harmonie ou symétrie ou ordre (O), plus ou moins caché, qui semble être une condition nécessaire, sinon suffisante, pour l’expérience esthétique elle même.

Ainsi se pose presque immédiatement la question, de déterminer, dans un cas donné, jusqu’à quel point cette mesure esthétique n’est que l’effet de la densité des relations d’ordre, c’est à dire leur rapport à la complexité. Et ainsi semble-t-il bien naturel de proposer une formule telle que

                                                         O

                                      M =   --------  

                                                   C

Le besoin esthétique bien connu de l’unité dans la variété est évidemment étroitement lié avec notre formule. La définition du beau comme présentant le nombre maximum d’idées dans le minimum de temps, donnée par le hollandais HEMSTERHUIS au XVIII ème siècle, est aussi d’une nature analogue. »

 

Birkhoff n’a pas eu sur ce terrain de continuateurs immédiats. Il faut reconnaître que ses concepts de complexité et d’ordre sont bien intuitifs et vagues. Il faudra attendre la seconde moitié du siècle pour que l’apparition des concepts de la théorie de l’information et ceux de la théorie du calcul et de la complexité, suscitent des mises en forme mathématiques plus précises.

Dans les années 50, A. Moles en France et M. Bense en Allemagne, développent une approche informationnelle de l’esthétique. L’esthétique informationnelle se présente comme une branche de la psychologie empirique utilisant la théorie de l’information de Shannon, ce qui écarte d’emblée toute considération du sens et de la signification de l’œuvre d’art. Elle considère les messages entre l’œuvre et l’observateur comme une séquence de signes préétablis et mesure l’information comme la quantité de nouveauté et de surprise, d’un point de vue probabiliste, apporté par le message, en fonction de sa complexité. C’est donc une attitude d’esprit assez différente de celle de l’esthétique philosophique traditionnelle, attitude qui a provoqué des prises de position assez catégoriques, pour ou contre. Attitude conforme cependant à l’esprit d’une époque qui grâce à l’informatique s’engage dans la voie de l’intelligence artificielle.

Dans « L’art et l’ordinateur » (1970, 1990) décrit ainsi sa démarche (p.26) :

 

« L’esthétique informationnelle s’écarte progressivement de son point de départ ( la théorie de Shannon ) au fur et à mesure qu’elle prend  en compte de façon plus nette la communication entre opérateurs humains. Celle ci est en effet caractérisée par cette saturation quant au débit d’originalité acceptable dans un message et par la nécessité d’une valeur complémentaire du message : son intelligibilité.

L’intelligibilité se présente comme un jeu « dialectique » par rapport à l’originalité du message. Si un message est totalement original, au sens de la pure combinatoire, il n’est plus qu’un assemblage parfaitement imprévisible et donc disparate de tous les signes du répertoire, le spectateur n’en a que faire, il est submergé, il renonce ; si au contraire le message est totalement intelligible il est, à la limite, totalement banal, parfaitement attendu, tout à fait dépourvu d’intérêt car le spectateur sait déjà tout ce qu’il contient.

Il y a donc un optimum de valeur pour chaque être humain particulier, et une plus ou moins grande satisfaction de celui ci pour un message donné.

Plus l’information est grande, plus le récepteur reçoit de nouveauté ; plus la nouveauté est grande, moins il est capable d’exercer une dominance perceptive sur les signes disparates qu’il reçoit, de les assembler en des « Gestalt », de projeter en d’autres termes ses connaissances antérieures sur le message, en bref de le comprendre.

L’intelligibilité d’un message varie donc en sens inverse de l’information  et une grande part de l’œuvre de l’artiste repose sur un jeu dialectique plus ou moins élaboré ou conscient entre l’originalité et l’intelligibilité.

Les oeuvres d’art sont des expérimentations situées quelque part à l’intérieur de cette marge, jouant sur une dialectique subtile de l’attendu et de l’inattendu (probabilité d’occurrence des signes), du connu et de l’inconnu, de l’ordre et du désordre. »

 

 

La satisfaction esthétique prendrait donc sa source dans le succès d’une tâche cognitive. Avec bien sûr toujours l’interrogation sur la cause de ce succès : une qualité particulière de l’objet ou un mérite spécifique de l’intelligence humaine. Question d’autant plus délicate si l’objet a été produit par l’homme lui même en tant qu’œuvre d’art, dans un contexte socio-culturel donné.

Que l’esthétique provienne de l’intelligibilité, de la lisibilité, de la compréhension, de l’explication, voilà autant de propositions qui parsèment le champ de l’histoire de l’esthétique.

Que l’esthétique soit un domaine de l’épistémologie et de la théorie de la connaissance, voilà une thèse qui sous tend toute l’œuvre d’un des théoriciens de l’esthétique le plus influent au XX ème siècle, Nelson Goodman.

Pour sa part, Michael Leyton, théoricien de l’art mathématisé, considère que l’art est lié à l’explication, que la compréhension c’est la reconnaissance d’une forme. La réponse esthétique est l’évaluation par l’esprit de la qualité de l’explication, d’autant plus précieuse que l’objet considéré est plus complexe, c.a.d. source de plus d’information et de surprise. Expliquer une information « surprenante » est la source suprême du plaisir esthétique.

 

 

 

 

La théorie algorithmique de l’information. La complexité algorithmique de Kolmogorov.

 

En fait la théorie de l’information est essentiellement une théorie du codage, avec pour but la compression de l’information pour faciliter sa transmission et son stockage. Les théories de Moles et de Bense n’exploitent pas cet aspect qui va connaître des développements majeurs dans les années 60. a la confluence de préoccupations liées à une théorie mathématique de l’induction ( Solomonoff-1964, Chaitin-1966 ) et de considérations sur la définition du caractère aléatoire ( Kolmogorov, Martin-Löf, Levin- 1965.....) s’est développée une théorie algorithmique de la complexité des objets calculables, comme théorie générale de la compressibilité des calculs engendrant l’objet. Cette théorie met en oeuvre ce que l’on désigne habituellement par la complexité de Kolmogorov[13].

La complexité de Kolmogorov nécessite pour sa définition la considération d’un

calculateur universel ( Turing ). Tout programme pour un calculateur donné peut être transformé (compilé) en un programme équivalent pour un calculateur universel à l’aide d’un programme dont la longueur ne dépend pas du programme qu’il compile. La complexité de Kolmogorov d’un objet calculable est la longueur du plus court programme qui calcule l’objet sur un calculateur universel et s’arrête. La complexité de Kolmogorov n’est pas calculable : il n’existe pas d’algorithme qui engendre le plus court programme pour calculer un ensemble arbitraire de données sur un calculateur donné. La complexité de Kolmogorov, même si elle n’est pas calculable, est une manière de fournir une base solide pour formuler les problèmes d’inférence inductive et de suites aléatoires. C’est une formalisation du Rasoir d’Ockham selon lequel « L’explication la plus simple est la meilleure ». Elle est  au centre des  problèmes inverses et de la question de l’intégrabilité des équations différentielles. Elle devient un concept essentiel d’une théorie de la perception.

Les théories de la perception s’intéressent nécessairement à la complexité des images visuelles. Deux de ces théories ont joué un rôle très important.

Les théories de la Gestalt[14], qui décrivent les regroupements perceptuels et l’organisation visuelle. Un des principe directeur en est la loi de la prégnance : «  de plusieurs organisations géométriques possibles celle qui sera retenue est la plus simple et la plus stable »

Quelques autres principes jouent un rôle essentiel :

Proximité : Les éléments qui sont proches sont regroupés

Similarité :Les éléments similaires, par leurs attributs physiques    comme la couleur, l’orientation ou la taille, sont regroupés.

Continuation : Les éléments qui se trouvent sur une ligne ou une courbe commune sont regroupés.

Clôture :On cherche à compléter les courbes afin qu’elles bordent des régions fermées

Symétrie :Les éléments symétriques sont regroupés

Familiarité : Les éléments que l’on a l’habitude de voir ensemble sont regroupés

 

 La théorie de David Marr[15] envisage la construction d’une image primaire par le cerveau ( Primal Sketch ). Différents niveaux successifs de traitement de l’image

correspondent à la mise en évidence de structures par filtrage et compression.

 

L’apparition d’une conception précise de la complexité, comme taille minimale d’un code, a réactivé les considérations sur la simplicité en tant que principe cognitif fondamental. Que le système cognitif cherche à trouver l’explication la plus simple des données perceptuelles et linguistiques, est une hypothèse ancienne en psychologie de la perception et en philosophie des sciences. Une hypothèse bien formulée par E. Mach, mais qui n’était pas exploitable avant l’apparition de la théorie de l’information, et plus précisément de la théorie algorithmique de l’information de Kolmogorov, Solomonoff et Chaitin. Celle ci a pour mérite de considérer des objets individuels et de ne pas avoir recours à des considérations probabilistes, même si le code le plus court pour un ensemble de données est aussi sans doute le code le plus probable. N. Chater[16] et P. Van der Helm[17] ont donné de nombreux exemples d’application de ces considérations. G. Wolff[18] décrit en détail cette conception de la cognition comme compression des données. Comprendre c’est comprimer.

Il est inévitable que ceci ait des conséquences pour la formulation de l’esthétique mathématique.

 

 

Complexité descriptive et complexité temporelle.

Mathématisation de la mesure esthétique de Birkhoff.

 

Birkhoff et Moles ont parfaitement compris que la mesure esthétique devait exprimer une dialectique entre deux termes. Mais ils n’avaient pas les outils mathématiques nécessaires.

Cover et Thomas[19], font remarquer au début de leur ouvrage de référence sur la théorie de l’information –p.3 :

 

 

« Il existe une complémentarité intéressante entre la complexité algorithmique et la complexité du calcul. On peut considérer que la complexité du calcul (complexité temporelle) et la complexité de Kolmogorov (longueur du programme ou complexité descriptive), comme deux axes correspondant au temps d’exécution du programme et à la longueur du programme.....Peu de travail a été fait pour étudier la minimisation simultanée de ces deux complexités. »

 

De fait tous les apprentis programmeurs apprennent à leurs dépens que si un programme est trop simplement formulé, par facilité ou paresse, le temps d’exécution peut s’avérer démesurément long. Il faut se creuser la tête pour réduire les temps de calcul, ce qui revient à compliquer les programmes.

Kreinovich et al. (1998) ont très justement remarqué que dans la formule esthétique de Birkhoff les deux termes correspondent précisément aux deux objectifs antagonistes de la programmation.

 L’ordre signifie en fait simplicité de la description. Plus l’algorithme descriptif est court plus l’objet présente d’ordre. C’est là la complexité de Kolmogorov.

Quant à la complexité, c’est le temps nécessaire pour engendrer l’objet par un algorithme.

Ainsi la formule de Birkhoff représente un compromis entre la longueur d’un programme et le temps d’éxécution.

N’est ce pas là le fameux maximum d’idées dans un minimum de temps dont parlait Hemsterhuis au XVIII ème siècle et dont Birkoff avait très bien ressenti la parenté avec ses propres idées.

Un tel compromis est présent dans la définition de la complexité de Levin, qui prend précisément en compte la longueur du programme et son temps d’exécution. Nous proposons d’appeler cette mesure esthétique , la beauté de Birkhoff-Levin.

Quoique calculable en principe, la complexité de Levin ne l’est pas en pratique à cause du temps de calcul beaucoup trop long

Pour l’évaluation pratique de la beauté selon Birkhoff Levin peut proposer

l’emploi de programmes de compression pour estimer selon le degré de compression :

la complexité selon l’algorithme de compression ZIP

l’ordre, selon des procédures de compression utilisant la symétrie, comme la compression par ondelettes.

 

Pareillement, Machado et Cardoso (1998) , proposent une définition de la beauté formelle, comme le rapport

Complexité de l’image

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Complexité du traitement de l’image

 

dont ils proposent l’évaluation à l’aide de différents programmes de compression d’images : jpg, gif, zip...

 

Il n’existe pas pour l’instant à notre connaissance de travaux appliquant concrètement ces idées, même si la pratique de la compression est quotidienne et universelle.

 

 

 

 

 

 

 

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