Simon Diner
BEAUTE
et
ESTHETIQUE MATHEMATIQUE
Il faut se garder
du hasard
comme du calcul
Peter MONDRIAN
Deux choses menacent le monde,
l’ordre et le désordre.
Paul VALERY
Ce que je cherche avant tout est l’expression
Henri MATISSE
Le
problème des rapports entre beauté, harmonie et
propriétés mathématiques a été largement
posé et illustré dans l'Antiquité. Les fondements d'une
démarche faisant jouer un rôle central aux proportions, aux
relations numériques, aux propriétés de symétrie
sont élaborés dans la "pensée pythagoricienne"
et relayés par le platonisme vers la culture occidentale.
Le
rôle, contesté ou non, du nombre d'or, l'utilisation des
tracés régulateurs par les peintres, les problèmes de la
perspective, et la pratique et la théorie de l'architecture sont les
manifestations les plus connues de recettes mathématiques pour
l'obtention de la beauté.
Il
y a là un immense domaine où l'art et la mathématique se
côtoient, s'observent, se fécondent mutuellement. Ce domaine
s'enrichit de siècles en siècles des progrès des
mathématiques et de la pratique des artistes.
Brillamment
illustrée par Albrecht Dürer et Leonardo da Vinci cette synergie
entre art et science va souffrir de l'isolement progressif des deux domaines,
au point de ne pas constituer aujourd'hui une zone bien explorée et bien
intégrée de la culture.
Néanmoins
les besoins de l'informatique et de l'intelligence artificielle sont en passe
de remettre au premier plan la mathématisation de l'art, de l'image
numérique à la musique informatique. Mais l'éducation
générale dans ce domaine, reste totalement à
développer. Il y a là des niches prodigieusement riches pour
l'enseignement parallèle de l'art et des mathématiques.
Cet
enseignement s'il était développé devrait
révéler que l'art ne fait pas tant appel à la
précision numérique ou logique des mathématiques
qu'à ces aspects moins connus et plus délicats que l'on pourrait
globalement appeler , "les mathématiques qualitatives".
Marquant par là, après tant de siècles, le retour en force
du qualitativisme d'Aristote, dont le grand mathématicien René
Thom s'est fait l'apôtre. Très sommairement
caractérisé ce mouvement peut être appelé "la
disparition du nombre au profit du paysage".
Entre
l'art et les mathématiques, le rapport est le même qu'entre la
physique et les mathématiques. Une modélisation sans cesse battue
en brèche par la réalité. Ce n'est pas le monde qui est
mathématique, c'est notre esprit qui cherche à l'être.
C'est nous qui cherchons à enserrer le désordre du monde dans le
filet de l'ordre des mathématiques. Avec plus ou moins de bonheur.
Si
bien qu'en définitive l'art comme les mathématiques nous
apprennent plus sur
nous-mêmes et notre esprit que sur la Nature. En cherchant à
mesurer la beauté, on cherche en fait à caractériser la
lisibilité. C'est là l'intérêt des discours sur
l'art en terme de complexité ou d'entropie. Des discours qui rencontrent
des discours analogues dans les sciences cognitives, en particulier celles de
la perception. Une certaine unité de pensée et de formalisation
se met en place au carrefour des sciences cognitives et des sciences du calcul.
Cette démarche rejaillit sur les conceptions de
l’esthétique.
L’esthétique
n’est pas seulement l’étude de la beauté. Pas plus
que l’étude philosophique de la beauté et du goût.
Aux fins de formalisation, nous considérerons l’esthétique comme la
science
générale
de l’expression et de l’expressivité, dans son lien avec le
déclenchement d’une émotion ou d’un sentiment.
Suivant en cela l’attitude de A.F. Losev dans sa monumentale
« Histoire de l’esthétique antique ».
Au risque de voir l’esthétique flirter avec la
« Sémiotique visuelle »
ou la Sémiotique
en général . Mais pourquoi pas ?
En
fait l’esthétique flirte sans cesse avec la sémiotique, et
ce depuis Peirce.
De
notre point de vue, l’esthétique comme doctrine de
l’expressivité, occupe par rapport à la sémiotique,
doctrine de l’expression (du sens), la même position que les
principes optimaux de la mécanique ou le contrôle optimal par
rapport à la mécanique. C’est le rôle central de
l’optimalité qui
distingue le domaine esthétique à l’intérieur de la
sémiotique. Il ne faudra pas s’étonner alors de voir
l’optimalité jouer un rôle décisif dans la
formulation mathématique de critères esthétiques.
Historiquement,
la formulation de l’esthétique comme science de l’expression
et de l’expressivité, s’impose lorsque l’on cherche
à formuler une esthétique pour des oeuvres largement
situées hors de notre cadre culturel habituel. Nous avons affaire
à un terme dont l’usage s’est répandu à partir
du moment où le lien qui
associait l’art à la
« représentation » a commencé à se
relâcher. L’intérêt pour les « arts
primitifs » n’a pas peu contribué à ce repli
stratégique. On peut même se demander si ce n’est pas un
mouvement idéologique de fond, lié à une certaine
révolte contre la société industrielle ainsi qu’
à un besoin de réévaluer les manifestations de cette
société, qui est à l’origine des mutations
esthétiques successives de
l’art moderne depuis le Symbolisme jusqu’au Minimalisme.
L’esthétique
c’est l’expression ou l’expressivité. C’est la
science de l’expression en général et pas seulement
l’étude de la beauté. C’est l’étude de tous
les types possibles de l’expression de l’intérieur par
l’extérieur, la science générale de
l’expressivité.
L’esthétique
ne s’intéresse pas à n’importe quelle
expressivité, mais à celle qui s’impose à notre
regard, nous fait s’immerger en elle, nous libère de toute autre
représentation et déclenche un sentiment, nous la faisant
considérer comme un sujet en soi. L’expression esthétique
est le sujet d’une expression indépendante, d’un attachement
désintéressé. Cette indépendance et ce
désintéressement du sentiment esthétique ne contrarie en
rien l’aspect utilitaire ou fonctionnel des objets et bien au contraire
le renforce. L’aspect esthétique désintéressé
est toujours le résultat et la concentration de relations
socio-historiques, en particulier socio-politiques et économiques.
Cependant
la propriété esthétique la plus naturelle est
attachée à un sentiment d’intelligibilité explicite
ou diffuse. La confusion ou l’incompréhension ne sont pas
naturellement la cause d’un plaisir esthétique normal.
Ce sont essentiellement
différentes conceptions de l’intelligibilité qui sont
à l’origine des différentes catégories conceptuelles
de l’esthétique.
Depuis
les Grecs l’intelligibilité est associé à
l’ordre et à la symétrie. L’ordre et la
symétrie s’incarnent dans le nombre et les proportions, et
transcendent la réalité terrestre en manifestant une oeuvre divine. Intelligibilité,
esthétique, transcendance et mystique font bon ménage.
C’est le cas chez les pythagoriciens, c’est évident chez
Platon (Timée). Plotin et le néo-platonisme relayent ce sentiment
vers la culture chrétienne occidentale.
Le
néo-platonisme par ailleurs contribue fortement à assimiler
intelligibilité et unité. Tout procède de l’Un, y
compris la beauté. L’Un et la Beauté sont synonymes et
traduisent l’harmonie divine. Toute beauté peut être
considérée comme une théophanie, manifestation divine dans
un phénomènes naturel.
Au
Moyen Age, la beauté réside dans la manifestation de
l’intelligibilité du divin. U. Eco écrit :
« Le goût médiéval n’avait affaire ni
avec l’autonomie de l’art, ni avec l’autonomie de la nature.
Il impliquait plutôt une appréhension de toutes les relations,
imaginaires et supranaturelles, établies entre l’objet
contemplé et un cosmos ouvert sur le transcendant. Il signifiait le
discernement dans l’objet concret de la réflexion ontologique et
de la participation de l’être et du pouvoir de Dieu » .
Le
fameux quadrivium médiéval : arithmétique, musique,
géométrie et astronomie, assemble quatre disciplines qui sont
censées produire une ascension de l’âme. Ascension
recherchée avant tout par la musique, qui selon Boethius participe
à l’unification de l’univers. La musique permet à
l’âme de participer au divin et l’âme s’adapte
aux proportions de l’univers par l’exercice de la mimesis, qui est
l’intelligibilité des chose de ce monde par leur conformité
aux choses divines. Tout comme chez Platon la beauté est
l’intelligence du reflet de la forme dans l’objet de ce monde. Les
mathématiques sont pour lui un intermédiaire dans
l’ascension vers les Formes.
Esthétique
et rationalité
Aux
Temps Modernes l’intelligibilité prend le visage de la
rationalité, sous l’influence du développement des
sciences. Rationalité qu’incarnent à nouveau les
mathématiques. Une rationalité à l’œuvre depuis
longtemps dans la théorie de la musique, une rationalité source
de l’harmonie.
La
musique baroque manifeste au plus haut point cette esthétique de la
rationalité. Une rationalité des passions formulée par
Descartes et incarnée par J.S. Bach. Une esthétique à la
mesure de l’ordre dans le monde révélé par
Galilée et Newton. Une esthétique de l’ordre
confortée par la montée en puissance des monarchies
européennes.
Tous
les penseurs et mathématiciens de Descartes à Leibniz, de
Gassendi à Euler voient dans la musique l’expression d’une
esthétique rationnelle architecturée par les mathématiques.
Le
rationalisme est à l’œuvre dans la musique baroque à
travers la doctrine des affections, selon laquelle les émotions humaines
sont intelligibles par catégorisation en stéréotypes
clairs et distincts, comme la joie, la colère, l’amour, la
haine....Ces émotions sont traduisibles en motifs musicaux, que le
compositeur combine pour traduire ses sentiments. La nature statique et
schématique de ce système et le fait que c’était
là un produit typique de l’environnement rationnel du XVII
ème siècle est justement remarqué par Bukofzer, historien
de la musique baroque. Il écrit : « les moyens de
la représentation verbale dans la musique baroque n’étaient
pas directs, psychologiques ou émotionnels, mais indirects, c’est
à dire intellectuels et imagés. ».
La composition musicale était un processus intellectuel plutôt
qu’une expression intuitive de l’émotion. L’attention
était dirigée vers la manipulation de règles et de mots,
et par la traduction rationnelle d’idées extra musicales par la
notation musicale. Jacop Opper ajoute : « La doctrine des
affections constitue la rhétorique musicale du baroque. C’est un
vocabulaire systématique qui a son origine d’une part dans
l’ancien art oratoire et dans ses figures linguistiques, et d’autre
part dans la psychologie mécaniste du 17 éme siècle. ».
Une
telle rigueur du système des formes s’exprime aussi dans la
tragédie classique, genre littéraire pilote de l’âge
baroque.
« La
juste cadence imposait au discours la double symétrie de la
césure et de la rime, et le regard du roi placé au point de
perspective ordonnait tout le spectacle en suivant l’axe central du
théâtre »
Michel Baridon. Les deux grands tournants du
siècle des lumières..
L’esthétique
des raisons est donc une esthétique de l’intelligibilité
mécaniste.
En
écrivant le célèbre article « Beau »
de l’Encyclopédie en 1753 Diderot ne se démarque pas de ce
rationalisme baroque, tout en tentant de le justifier comme une donnée
naturelle.
« Voilà donc nos besoins et
l’exercice le plus immédiat de nos facultés, qui conspirent
aussitôt que nous naissons à nous donner des idées
d’ordre, d’arrangement, de symétrie, de mécanisme, de
proportion, d’unité.... »
Et
pourtant l’Esprit du Siècle a déjà changé.
Au mécanisme strict
succède une conception plastique des phénomènes de la nature et de la pensée.
C’est que la mécanique n’est plus la science dominante (avec
l’astronomie) et que les sciences de la vie s’avancent sur le
devant de la scène. La mécanique elle même se transforme ;
la formulation au XVIII ème siècle de principes variationnels
(Maupertuis) met l’optimalité au cœur de la mécanique
au dépens de l’ordre rigoureux des équations du mouvement.
Au principe de simplicité incarné par l’ordre ou la
symétrie, succèdent des conceptions faisant part à
l’optimalité ou à la perfection. A l’affirmation
d’une rigueur succède la mise en place d’une dialectique,
d’un compromis.
Locke,
Buffon, Linné, Boyle, Lavoisier sont les figures marquantes de ce
siècle de l’histoire naturelle, de la botanique, de la physiologie
et de la chimie.
A
la rigueur des formes l’esthétique de ce siècle sensible
substitue l’intelligibilité du foisonnement et de la richesse des
formes, ce qui s’exprime naturellement par un compromis entre
variété et mise en ordre.
Francis
Hutcheson, célèbre philosophe de l’esthétique, formule
en 1725 une telle dialectique des tendances contraires.
« Les figures qui suscitent en nous les
idées de beauté semblent être celles où l’on
trouve une uniformité au sein de la variété. Ce que nous
appelons beau dans les objets, pour s’exprimer dans un style
mathématique, semble résider dans un rapport composé
d’uniformité et de variété. »
Un mouvement historique
s’accomplit sous nos yeux. Il faut en saisir les facettes pour comprendre
la naissance d’une esthétique moderne.
A
la Renaissance, le renouvellement du contact avec la pensée antique et
l’individualisme lié à l’essor économique font
apparaître la notion d’individu créateur. Les notions de
beau et de création s’entrelacent. On a souvent tendance à
rattacher la naissance de l’esthétique moderne à la reconnaissance d’un
rôle de la sensibilité et de l’imagination dans la
création artistique au détriment de la raison ; ce qui
correspond d’ailleurs à la manière traditionnelle de
présenter la naissance du romantisme.
Peut
être serait-il plus exact d’associer la genèse de
l’esthétique moderne à un changement de contenu du terme de
raison ? Il faudrait mettre en lumière le passage d’une
raison spéculative et intellectuelle, source de règles et
préceptes exactement formulés, à une notion plus souple et
plus ouverte, « raison poétique », compatible avec
les idées de création et de valeur, essentielles à
l’esthétique moderne, autrement dit le passage d’une
« raison constituée » à une
« raison constituante » selon la terminologie de Lalande.
L’activité
artistique est alors théorisée non plus comme imitation mais
comme création, produit de la subjectivité irremplaçable
de l’artiste. La constitution de la subjectivité créatrice
ne doit pas s’entendre comme simple substitution à la raison du
sentiment et de l’imagination. La promotion du sensible et de
l’imaginaire ne saurait impliquer l’abandon de toute
rationalité sans supprimer du même coup la possibilité de
l’activité artistique telle justement que l’a
théorisé l’esthétique moderne.
Comme
dans bien d’autre cas les particularités de
l’évolution historique révèlent la présence
de plusieurs « acteurs » qui dominent tour à tour.
La réalité est dans un compromis, une négociation entre
ces acteurs, réalisant un certain type d’optimalité.
Expressivité,
intelligibilité, simplicité.
Leibniz,
qui en matière d’esthétique s’en tenait à la
réalisation de l’unité par l’accord des proportions
entre composants, avait pourtant formulé des idées sur
l’optimalité sans les appliquer à
l’esthétique.
Leibniz
est au tournant d’une révolution conceptuelle considérable
qui va nous mener jusqu’au cœur de notre sujet de la formalisation
mathématique de l’esthétique. Grégory Chaitin,
un des auteurs de la théorie de l’information algorithmique, notre
outil privilégié, a remarqué récemment cet aspect
essentiel de la pensée de Leibniz.
Il
a eu son attention éveillée par une remarque du grand
mathématicien Hermann Weyl
en 1932 : « L’assertion selon laquelle la nature est
gouvernée par des lois strictes n’a aucun contenu si l’on
n’ajoute pas qu’elle est gouvernée par des lois
mathématiques simples...Que cette notion de loi devient vide si des
complications arbitraires sont permises voilà qui a déjà
été remarqué par Leibniz dans son Discours de
Métaphysique. Ainsi la simplicité devient un principe à
l’œuvre dans les sciences de la nature. »
Reproduisons
le texte si célèbre de Leibniz qui prend dans cette optique de
l’esthétique mathématique et de la théorie
algorithmique de l’information une résonance toute nouvelle.
A
l’ordre Leibniz substitue l’intelligibilité par la
simplicité. Ce n’est comme nous le verrons, rien moins, que le
sujet de notre article.
« Pour ce qui est de la simplicité
des voyes de Dieu, elle a lieu proprement à l’égard des
moyens, comme au contraire la variété, richesse ou abondance y a
lieu à l’égard des fins ou effects. Et l’un doit
estre en balance avec l’autre, comme les frais destinés pour un
bastiment avec la grandeur et la beauté qu’on y demande. Il est
vrai que rien ne couste à Dieu, bien moins qu’à un
Philosophe qui fait des hypothèses pour la fabrique de son monde
imaginaire, puisque Dieu n’a que des décrets à faire, pour
faire naistre un monde réel ; mais en matière de sagesse les
decrets ou hypothèses tiennent lieu de dépense à mesure
qu’elles sont plus indépendantes les unes des autres : car la
raison veut qu’on évite la multiplicité dans les
hypothèses et principes, à peu près comme le
système le plus simple est toujours préféré en Astronomie. »
Leibniz
en fin connaisseur de la philosophie scholastique se fait là
l’écho de Guillaume d’Ockham, qui avec son fameux
« rasoir » disait qu’il ne fallait pas faire
d’hypothèses complexes là où l’on pouvait en
faire de simples. Mais la grande originalité de Leibniz est de mettre en
balance dialectique la simplicité des moyens avec la richesse des fins.
La simplicité des moyens rentre pour ainsi dire dans le calcul de
l’optimum.
« ....non seulement rien n’arrive
dans le monde, qui soit absolument irregulier, mais on ne sçaurait memes
rien feindre de tel. Car supposons par exemple que quelcun fasse
quantité de points sur le papier à tout hazard, comme font ceux
qui exercent l’art ridicule de la Géomancie, je dis qu’il
est possible de trouver une ligne géométrique dont la motion soit
constante et uniforme suivant une certaine règle, en sorte que cette
ligne passe par tous ces points, et dans le même ordre que la main les
avoit marqués. Et si quelcun traçoit tout d’une suite une
ligne qui seroit tantost droite, tantost cercle, tantost d’une autre
nature, il est possible de trouver une notion ou regle ou equation commune
à tous les points de cette ligne en vertu de la quelle ces mêmes
changements doivent arriver. Et il n y a par exemple point de visage dont le
contour ne fasse partie d’une ligne Geometrique et ne puisse estre
tracé tout d’un trait par un certain mouvement reglé. Mais
quand une regle est fort composée, ce qui luy est conforme passe pour
irrégulier. Ainsi on peut dire que de quelque maniere que Dieu auroit
créé le monde, il auroit tousjours esté régulier et
dans un certain ordre general. Mais Dieu a choisi celuy qui est le plus
parfait, c’est à dire celuy qui est en même temps le plus
simple en hypotheses et le plus riche en phenomenes, comme pourroit estre une
ligne de geometrie dont la construction seroit aisée et les proprietes
et effects seroient fort admirables et d’une grande
étendue. »
Si
c’est là le meilleur des mondes possibles s’étonne
Candide, alors à quoi ressemblent les autres. L’horreur
n’est elle déjà pas à son comble ! Voltaire
n’a pas peu contribué à rendre célèbres les
thèses de Leibniz tout en les travestissant. Car l’essentiel
n’est pas dans une optimalité absolue mais dans
l’optimalité qui s’exprime par la dialectique variété/simplicité.
Il
semble que la trop grande richesse de la réflexion philosophique de
Leibniz ait empêché les commentateurs de donner à ce texte
l’importance qu’il mérite, à la lumière en
particulier des théories actuelles de la complexité et de la
calculabilité. C’est en particulier le cas de Laurence Bouquiaux
dans une thèse pourtant consacrée à l’examen des
rapports de la pensée de Leibniz avec ce qu’elle dénomme
« la nouvelle science ».
Il
est surprenant que ce texte prenne sa pleine valeur dans le contexte
d’une esthétique mathématique. Ceci est dû à
ce que si Leibniz ne définit peut–être pas la nature du
monde ou de la beauté, il définit à coup sûr ce que
l’on peut considérer comme l’expressivité :
richesse de l’expression face à la simplicité des moyens.
C’est là en fait l’idée de base d’une
mathématisation de l’esthétique. Elle sera utilisée.
Nous
ne disons pas là que Leibniz a presque inventé la théorie
algorithmique de l’information , comme le dit plaisamment Gregory
Chaitin. Mais il a formulé
une idée essentielle sur la compression des données que seule
l’ère informatique saura exprimer avec la rigueur
mathématique souhaitable.
Birkhoff
et Moles. Dialectique de la complexité et de la raison, de
l’imagination et de l’intelligibilité.
En 1927, Georges David
Birkhoff tente, sans posséder à l’époque les outils
mathématiques nécessaires, de donner en des termes leibniziens
(sans d’ailleurs s’en rendre compte) la définition
d’une mesure esthétique. Ce n’est pas par hasard s’il
note que ses idées sont très proches de la définition de
la beauté donnée par le philosophe hollandais Franciscus
Hemsterhuis en 1769 dans sa « Lettre sur la
Sculpture » : « Le Beau est ce qui provoque le plus
grand nombre d’idées dans le minimum de temps ».
Richesse d’idées et économie de temps, donc de moyens.
Comme si Leibniz était passé par là.
Dans
un article remarquable écrit en français en 1927, ce très
grand mathématicien américain, qui consacrait sa retraite
à voyager pour approfondir sa connaissance de l’art,
définit clairement un programme d’esthétique
mathématique :
« L’expérience
esthétique type peut être regardée comme renfermant trois
moments successifs :
1° un effort préliminaire
nécessaire pour bien saisir l’objet, et proportionnel à la
complexité (C) de l’objet ;
2° le sentiment du plaisir ou mesure
esthétique (M) qui récompense cet effort
préliminaire ;
3°
ensuite la perception consciente que l’objet jouit d’une certaine
harmonie ou symétrie ou ordre (O), plus ou moins caché, qui
semble être une condition nécessaire, sinon suffisante, pour
l’expérience esthétique elle même.
Ainsi
se pose presque immédiatement la question, de déterminer, dans un
cas donné, jusqu’à quel point cette mesure
esthétique n’est que l’effet de la densité des
relations d’ordre, c’est à dire leur rapport à la
complexité. Et ainsi semble-t-il bien naturel de proposer une formule
telle que
O
M = --------
C
Le
besoin esthétique bien connu de l’unité dans la
variété est évidemment étroitement lié avec
notre formule. La définition du beau comme présentant le nombre
maximum d’idées dans le minimum de temps, donnée par le
hollandais HEMSTERHUIS au XVIII ème siècle, est aussi d’une
nature analogue. »
Birkhoff n’a pas eu sur
ce terrain de continuateurs immédiats. Il faut reconnaître que ses
concepts de complexité et d’ordre sont bien intuitifs et vagues.
Il faudra attendre la seconde moitié du siècle pour que
l’apparition des concepts de la théorie de l’information et
ceux de la théorie du calcul et de la complexité, suscitent des
mises en forme mathématiques plus précises.
Dans les années 50, A.
Moles en France et M. Bense en Allemagne, développent une approche
informationnelle de l’esthétique. L’esthétique
informationnelle se présente comme une branche de la psychologie
empirique utilisant la théorie de l’information de Shannon, ce qui
écarte d’emblée toute considération du sens et de la
signification de l’œuvre d’art. Elle considère les
messages entre l’œuvre et l’observateur comme une
séquence de signes préétablis et mesure
l’information comme la quantité de nouveauté et de
surprise, d’un point de vue probabiliste, apporté par le message,
en fonction de sa complexité. C’est donc une attitude
d’esprit assez différente de celle de l’esthétique philosophique
traditionnelle, attitude qui a provoqué des prises de position assez
catégoriques, pour ou contre. Attitude conforme cependant à
l’esprit d’une époque qui grâce à
l’informatique s’engage dans la voie de l’intelligence
artificielle.
Dans « L’art
et l’ordinateur » (1970, 1990) décrit ainsi sa
démarche (p.26) :
« L’esthétique
informationnelle s’écarte progressivement de son point de
départ ( la théorie de Shannon ) au fur et à mesure qu’elle prend en
compte de façon plus nette la communication entre opérateurs
humains. Celle ci est en effet caractérisée par cette saturation
quant au débit d’originalité acceptable dans un message et
par la nécessité d’une valeur complémentaire du
message : son intelligibilité.
L’intelligibilité
se présente comme un jeu « dialectique » par
rapport à l’originalité du message. Si un message est
totalement original, au sens de la pure combinatoire, il n’est plus
qu’un assemblage parfaitement imprévisible et donc disparate de
tous les signes du répertoire, le spectateur n’en a que faire, il
est submergé, il renonce ; si au contraire le message est
totalement intelligible il est, à la limite, totalement banal,
parfaitement attendu, tout à fait dépourvu
d’intérêt car le spectateur sait déjà tout ce
qu’il contient.
Il y a donc un optimum de valeur pour chaque être
humain particulier, et une plus ou moins grande satisfaction de celui ci pour
un message donné.
Plus l’information est grande, plus
le récepteur reçoit de nouveauté ; plus la
nouveauté est grande, moins il est capable d’exercer une dominance
perceptive sur les signes disparates qu’il reçoit, de les
assembler en des « Gestalt », de projeter en
d’autres termes ses connaissances antérieures sur le message, en
bref de le comprendre.
L’intelligibilité
d’un message varie donc en sens inverse de l’information et une grande part de
l’œuvre de l’artiste repose sur un jeu dialectique plus ou
moins élaboré ou conscient entre l’originalité et
l’intelligibilité.
Les
oeuvres d’art sont des expérimentations situées quelque
part à l’intérieur de cette marge, jouant sur une
dialectique subtile de l’attendu et de l’inattendu
(probabilité d’occurrence des signes), du connu et de
l’inconnu, de l’ordre et du désordre. »
La satisfaction
esthétique prendrait donc sa source dans le succès d’une
tâche cognitive. Avec bien sûr toujours l’interrogation sur
la cause de ce succès : une qualité particulière de
l’objet ou un mérite spécifique de l’intelligence humaine.
Question d’autant plus délicate si l’objet a
été produit par l’homme lui même en tant
qu’œuvre d’art, dans un contexte socio-culturel donné.
Que l’esthétique
provienne de l’intelligibilité, de la lisibilité, de la
compréhension, de l’explication, voilà autant de
propositions qui parsèment le champ de l’histoire de l’esthétique.
Que l’esthétique
soit un domaine de l’épistémologie et de la théorie
de la connaissance, voilà une thèse qui sous tend toute
l’œuvre d’un des théoriciens de l’esthétique
le plus influent au XX ème siècle, Nelson Goodman.
Pour sa part, Michael Leyton,
théoricien de l’art mathématisé, considère
que l’art est lié à l’explication, que la
compréhension c’est la reconnaissance d’une forme. La
réponse esthétique est l’évaluation par
l’esprit de la qualité de l’explication, d’autant plus
précieuse que l’objet considéré est plus complexe,
c.a.d. source de plus d’information et de surprise. Expliquer une
information « surprenante » est la source suprême
du plaisir esthétique.
La théorie algorithmique
de l’information. La complexité algorithmique de Kolmogorov.
En fait la théorie de
l’information est essentiellement une théorie du codage, avec pour
but la compression de l’information pour faciliter sa transmission et son
stockage. Les théories de Moles et de Bense n’exploitent pas cet
aspect qui va connaître des développements majeurs dans les
années 60. a la confluence de préoccupations liées
à une théorie mathématique de l’induction (
Solomonoff-1964, Chaitin-1966 ) et de considérations sur la
définition du caractère aléatoire ( Kolmogorov,
Martin-Löf, Levin- 1965.....) s’est développée une
théorie algorithmique de la complexité des objets calculables,
comme théorie générale de la compressibilité des
calculs engendrant l’objet. Cette théorie met en oeuvre ce que
l’on désigne habituellement par la complexité de Kolmogorov.
La complexité de
Kolmogorov nécessite pour sa définition la considération
d’un
calculateur universel ( Turing
). Tout programme pour un calculateur donné peut être
transformé (compilé) en un programme équivalent pour un
calculateur universel à l’aide d’un programme dont la
longueur ne dépend pas du programme qu’il compile. La
complexité de Kolmogorov d’un objet calculable est la longueur du
plus court programme qui calcule l’objet sur un calculateur universel et
s’arrête. La complexité de Kolmogorov n’est pas
calculable : il n’existe pas d’algorithme qui engendre le plus
court programme pour calculer un ensemble arbitraire de données sur un
calculateur donné. La complexité de Kolmogorov, même si elle
n’est pas calculable, est une manière de fournir une base solide
pour formuler les problèmes d’inférence inductive et de
suites aléatoires. C’est une formalisation du Rasoir
d’Ockham selon lequel « L’explication la plus simple est
la meilleure ». Elle est
au centre des
problèmes inverses et de la question de
l’intégrabilité des équations
différentielles. Elle devient un concept essentiel d’une
théorie de la perception.
Les théories de la
perception s’intéressent nécessairement à
la complexité des images visuelles. Deux de ces théories ont
joué un rôle très important.
Les théories de la
Gestalt,
qui décrivent les regroupements perceptuels et l’organisation
visuelle. Un des principe directeur en est la loi de la prégnance :
« de plusieurs organisations géométriques possibles
celle qui sera retenue est la plus simple et la plus stable »
Quelques autres
principes jouent un rôle essentiel :
Proximité :
Les éléments qui sont proches sont regroupés
Similarité :Les
éléments similaires, par leurs attributs physiques comme la couleur,
l’orientation ou la taille, sont regroupés.
Continuation :
Les éléments qui se trouvent sur une ligne ou une courbe commune
sont regroupés.
Clôture :On
cherche à compléter les courbes afin qu’elles bordent des
régions fermées
Symétrie :Les
éléments symétriques sont regroupés
Familiarité :
Les éléments que l’on a l’habitude de voir ensemble
sont regroupés
La théorie de David Marr
envisage la construction d’une image primaire par le cerveau ( Primal
Sketch ). Différents niveaux successifs de traitement de l’image
correspondent à la mise
en évidence de structures par filtrage et compression.
L’apparition d’une
conception précise de la complexité, comme taille minimale
d’un code, a réactivé les considérations sur la
simplicité en tant que principe cognitif fondamental. Que le système
cognitif cherche à trouver l’explication la plus simple des
données perceptuelles et linguistiques, est une hypothèse
ancienne en psychologie de la perception et en philosophie des sciences. Une
hypothèse bien formulée par E. Mach, mais qui
n’était pas exploitable avant l’apparition de la
théorie de l’information, et plus précisément de la
théorie algorithmique de l’information de Kolmogorov, Solomonoff
et Chaitin. Celle ci a pour mérite de considérer des objets
individuels et de ne pas avoir recours à des considérations
probabilistes, même si le code le plus court pour un ensemble de
données est aussi sans doute le code le plus probable. N. Chater
et P. Van der Helm
ont donné de nombreux exemples d’application de ces
considérations. G. Wolff
décrit en détail cette conception de la cognition comme
compression des données. Comprendre c’est comprimer.
Il est inévitable que
ceci ait des conséquences pour la formulation de
l’esthétique mathématique.
Complexité
descriptive et complexité temporelle.
Mathématisation de la
mesure esthétique de Birkhoff.
Birkhoff et Moles ont
parfaitement compris que la mesure esthétique devait exprimer une
dialectique entre deux termes. Mais ils n’avaient pas les outils
mathématiques nécessaires.
Cover et Thomas,
font remarquer au début de leur ouvrage de référence sur
la théorie de l’information –p.3 :
« Il
existe une complémentarité intéressante entre la
complexité algorithmique et la complexité du calcul. On peut
considérer que la complexité du calcul (complexité
temporelle) et la complexité de Kolmogorov (longueur du programme ou
complexité descriptive), comme deux axes correspondant au temps
d’exécution du programme et à la longueur du
programme.....Peu de travail a été fait pour étudier la
minimisation simultanée de ces deux complexités. »
De fait tous les apprentis
programmeurs apprennent à leurs dépens que si un programme est
trop simplement formulé, par facilité ou paresse, le temps
d’exécution peut s’avérer démesurément
long. Il faut se creuser la tête pour réduire les temps de calcul,
ce qui revient à compliquer les programmes.
Kreinovich et al. (1998) ont
très justement remarqué que dans la formule esthétique de
Birkhoff les deux termes correspondent précisément aux deux
objectifs antagonistes de la programmation.
L’ordre signifie en fait simplicité de la
description. Plus l’algorithme descriptif est court plus l’objet
présente d’ordre. C’est là la complexité de
Kolmogorov.
Quant à la
complexité, c’est le temps nécessaire pour engendrer
l’objet par un algorithme.
Ainsi la formule de Birkhoff
représente un compromis entre la longueur d’un programme et le
temps d’éxécution.
N’est ce pas là le
fameux maximum d’idées dans un minimum de temps dont parlait
Hemsterhuis au XVIII ème siècle et dont Birkoff avait très
bien ressenti la parenté avec ses propres idées.
Un tel compromis est
présent dans la définition de la complexité de Levin, qui
prend précisément en compte la longueur du programme et son temps
d’exécution. Nous proposons d’appeler cette mesure esthétique
, la beauté de Birkhoff-Levin.
Quoique calculable en principe, la complexité de
Levin ne l’est pas en pratique à cause du temps de calcul beaucoup
trop long
Pour l’évaluation pratique de la beauté
selon Birkhoff Levin peut proposer
l’emploi de programmes de compression pour estimer
selon le degré de compression :
la complexité selon l’algorithme de
compression ZIP
l’ordre, selon des procédures de compression
utilisant la symétrie, comme la compression par ondelettes.
Pareillement, Machado et Cardoso (1998) , proposent une
définition de la beauté formelle, comme le rapport
Complexité de l’image
------------------------------------
Complexité du traitement de
l’image
dont ils proposent l’évaluation à l’aide
de différents programmes de compression d’images : jpg, gif,
zip....
Il n’existe pas pour
l’instant à notre connaissance de travaux appliquant
concrètement ces idées, même si la pratique de la
compression est quotidienne et universelle.
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