ESTHETIQUE
Les articles ci-dessous sont extraits du
Lexique de Philosophie Naturelle
Esthétique
Esthétique des proportions
Harmonie
Esthétique mathématique
Nombre d’or
ESTHETIQUE
Le concept d’esthétique intervient dans des situations variées, et concerne non seulement l’œuvre d’art mais aussi les créations de la nature ou les comportements humains individuels et sociaux.
Traditionnellement on fait commencer l’histoire de l’esthétique comme discipline autonome avec A. Baumgarten (1714-1762) et son ouvrage Aesthetica (1750-1758). Mais la notion de beauté ou de perfection a toujours existé, et rien n’empêche, même si l’esthétique n’était pas reconnue comme science, d’en reconstruire une histoire et d’en fournir un tableau pour les époques passées. A preuve des ouvrages fondamentaux comme ceux d’Edgard de Bruyne, Umberto Eco ou Alexei Losev. Mais pour dégager les éléments d’une telle entreprise on doit s’appuyer sur une conception même de l’esthétique constituée seulement à l’époque contemporaine, et adopter une définition précise de ce que l’on considère comme l’esthétique.
L’esthétique n’est pas seulement l’étude de la beauté. Pas plus que l’étude philosophique de la beauté et du goût.
Nous considérerons l’esthétique comme la science générale de l’expression et de l’expressivité, dans son lien avec le déclenchement d’une émotion ou d’un sentiment. Suivant en cela l’attitude de A.F. Losev dans sa monumentale "Histoire de l’esthétique antique". Au risque de voir l’esthétique flirter avec la "Sémiotique visuelle" ou la Sémiotique en général. Mais pourquoi pas ?
L’esthétique comme doctrine de l’expressivité, occupe par rapport à la sémiotique, doctrine de l’expression (du sens), la même position que les principes optimaux de la mécanique ou le contrôle optimal par rapport à la mécanique. C’est le rôle central de l’optimalité qui distingue le domaine esthétique à l’intérieur de la sémiotique. Il ne faudra pas s’étonner alors de voir l’optimalité jouer un rôle décisif dans la formulation mathématique de critères esthétiques.
Historiquement, la formulation de l’esthétique comme science de l’expression et de l’expressivité, s’impose lorsque l’on cherche à formuler une esthétique pour des oeuvres largement situées hors de notre cadre culturel habituel. Nous avons affaire à un terme dont l’usage s’est répandu à partir du moment où le lien qui associait l’art à la "représentation" a commencé à se relâcher. L’intérêt pour les "arts primitifs" n’a pas peu contribué à ce repli stratégique. On peut même se demander si ce n’est pas un mouvement idéologique de fond, lié à une certaine révolte contre la société industrielle ainsi qu’à un besoin de réévaluer les manifestations de cette société, qui est à l’origine des mutations esthétiques successives de l’art moderne depuis le Symbolisme jusqu’au Minimalisme.
L’esthétique c’est l’expression ou l’expressivité. C’est la science de l’expression en général et pas seulement l’étude de la beauté. C’est l’étude de tous les types possibles de l’expression de l’intérieur par l’extérieur, la science générale de l’expressivité.
L’esthétique ne s’intéresse pas à n’importe quelle expressivité, mais à celle qui s’impose à notre regard, nous fait s’immerger en elle, nous libère de toute autre représentation et déclenche un sentiment, nous la faisant considérer comme un sujet en soi. L’expression esthétique est le sujet d’une expression indépendante, d’un attachement désintéressé. Cette indépendance et ce désintéressement du sentiment esthétique ne contrarie en rien l’aspect utilitaire ou fonctionnel des objets et bien au contraire le renforce. L’aspect esthétique désintéressé est toujours le résultat et la concentration de relations socio-historiques, en particulier socio-politiques et économiques.
Tout objet en général se présente à nous essentiellement comme un condensat de relations sociales, ce qui ne l’empêche pas d’exister et de se développer objectivement indépendamment de la conscience humaine et des conditions sociales.
Adoptant une démarche marxiste, qui se complait dans le constructivisme social, Losev va au fil des pages de son ouvrage considérer l’esthétique antique comme la doctrine des formes expressives d’une totalité cosmique unique. L’expressivité de ces formes constitue l’esthétique antique.
Il faut évoquer la question centrale de l’ontologie de l’œuvre d’art et de l’objectivité des qualités esthétiques. Qu’est ce qu’une œuvre d’art dont on pourra chercher à évaluer la nature esthétique ? Est ce la question esthétique qui définit l’œuvre d’art ? Le sentiment esthétique est il la conséquence d’une réalité physique objective ou une pure construction mentale ? Ou peut être ni l’un ni l’autre ?
Ce dernier débat était déjà ouvert au XVIIIème siècle entre les philosophes anglais de l’art (philosophes empiristes comme Shaftesbury, Hutcheson, Hume, Burke) et l’esthétique rationaliste continentale (Leibniz, Wolff, Baumgarten).
Pour Leibniz la beauté représente l’unité dans la variété. C’est à dire qu’il y a beauté chaque fois que le jugement saisit un rapport harmonieux entre des objets. Pour Baumgarten, qui développe en cela des idées de Leibniz et de Wolff, la beauté est une perception de la perfection objective considérée comme la concordance du multiple en une chose, et de ce fait le mode le plus élevé de notre connaissance sensible.
Les empiristes affirmaient que la beauté et le plaisir esthétique résident dans l’activité du sentiment et de l’émotion et n’ont aucun caractère cognitif.
Baumgarten, suivant en cela Leibniz, prétendait que la perception n’est qu’une connaissance confuse, par le biais des images sensibles. Si bien que quoique la beauté soit révélée par nos sens, cela ne démontre pas qu’elle ne soit pas d’origine cognitive. La beauté à plus affaire avec l’idée rationnelle d’harmonie qu’avec la physiologie des sensations.
Kant lui même sera d’abord proche des rationalistes (de 1755 à 1763), puis subira l’influence croissantes des philosophes anglais, pour finir par élaborer sa propre doctrine du rapport entre le sensible et l’intelligible dans la "Critique de la faculté de juger" (1790).
En fait Kant applique à la beauté la même démarche transcendantale qu’à l’espace et au temps. La beauté est une forme à priori de la perception sensible, précédant toute connaissance expérimentale. Kant pensait dépasser là aussi l’opposition générale entre rationalistes et empiristes.
Une opposition qui se perpétue dans la philosophie des sciences contemporaine et dans le débat esthétique aujourd’hui, le développement des sciences cognitives apportant de nouveaux éléments au dossier.
Dans une analyse détaillée de la problématique de l’ontologie de l’œuvre d’art, Roger Pouivet, finit par accepter qu’une œuvre d’art est un artefact dont le fonctionnement esthétique détermine la nature spécifique. Ce qui lui permet de rejeter à la fois la conception platoniste de l’œuvre d’art, comme n’existant pas concrètement mais uniquement déterminée par une essence, et la conception nominaliste qui nie toute nature propre à cette même œuvre.
Pour pouvoir espérer formaliser l’esthétique il faut en fait se placer dans un cadre de pensée permettant de formuler le problème. Tout comme pour la linguistique ou la théorie de la couleur on peut chercher à s’insérer dans un cadre cybernétique pour utiliser les outils puissants de la théorie de l’information.
De fait la formalisation de l’esthétique relève d’une modélisation cybernétique de la perception et de la connaissance où l’on distingue un système cérébral (plus ou moins à l’état de boîte noire), des informations entrantes liées en général au monde matériel et des informations émergentes au niveau de la conscience. Lorsque ces informations sortantes possèderont des qualités esthétiques on pourra être tenté de dire que les informations entrantes appartiennent à un objet d’art.
Mais il faut alors distinguer entre les attributs et les propriété de l’objet. Une distinction a laquelle nous a habitué la physique, la physique quantique en particulier. L’attribut est une caractérisation ontologique de l’objet. Il appartient à l’objet en propre. Contrairement à ce que semblerait suggérer l’étymologie, la propriété est une caractéristique phénoménale qui ne se manifeste qu’en présence d’un autre objet (un observateur ou un instrument de mesure). De ce point de vue la physique classique munit en général les objets d’attributs, alors que la physique quantique formalise plutôt des propriétés. Le problème de la couleur montre clairement que celle ci est une propriété des objets qu’il n’est pas aisé de rattacher à des attributs, car la perception de la lumière et de la couleur est un phénomène psycho-physiologique complexe. Les signaux objectifs qui entrent dans le cerveau via l’œil (composition spectrale......) émergent comme des couleurs au niveau de la conscience.
Les propriétés esthétiques posent le même problème.
On dit à tort qu’un objet est rouge. Rouge n’est pas un attribut mais une propriété.
On dit à tort qu’un objet est beau ou est une oeuvre d’art. Beau n’est pas un attribut mais une propriété.
A la différence de la lune qui existe lorsque l’on ne la regarde pas, l’œuvre d’art n’existe que lorsque l’on la regarde, même si un tableau continue d’exister matériellement lorsque le Musée du Louvre est fermé.
Les propriétés esthétiques relèvent avant tout du sens commun, c.à.d. constituent une esthétique naturelle ou naïve.
Les développements récents de la psychologie (théorie de la Gestalt, psychologie cognitive) et de l’intelligence artificielle (robotique) ont focalisé l’intérêt sur l’étude de la structure du sens commun, c’est à dire du comportement naturel en l’absence de tout appareil théorique. W. Köhler un des fondateurs de la psychologie de la Gestalt déclarait qu’il n’y a qu’un seul point de départ pour la psychologie, tout comme pour les autres sciences : le monde tel que nous le trouvons, de façon naïve et non critique. Cet intérêt pour la perception pure envahit toute la philosophie au XXème siècle, de Mach et de la Gestalt à la phénoménologie (Husserl, Heiddeger, Merleau-Ponty). C’est dans ce cadre qu’il faut considérer les propriétés esthétiques. Tout en comprenant bien que c’est là que se trouvent les éléments de toute esthétique formelle, qui se trouvent dans la réalité historique porteurs d’habits de circonstance idéologiques ou philosophiques. Quelle que soit la culture envisagée, n’est pas esthétique n’importe quoi. Il y a sous le vernis historique des grands invariants de l’esthétique . C’est précisément à les mettre en relief que s’attelle toute tentative de formulation mathématique de l’esthétique.
La satisfaction esthétique et le sentiment de plaisir à la vision d’une oeuvre recouvrent des expériences diverses qui fusionnent plus ou moins pour sous tendre l’exclamation : "C’est beau".
Cependant la propriété esthétique la plus naturelle est attachée à un sentiment d’intelligibilité explicite ou diffuse. La confusion ou l’incompréhension ne sont pas naturellement la cause d’un plaisir esthétique normal.
Ce sont essentiellement différentes conceptions de l’intelligibilité qui sont à l’origine des différentes catégories conceptuelles de l’esthétique.
Depuis les Grecs l’intelligibilité est associée à l’ordre et à la symétrie. L’ordre et la symétrie s’incarnent dans le nombre et les proportions, et transcendent la réalité terrestre en manifestant une œuvre divine. Intelligibilité, esthétique, transcendance et mystique font bon ménage. C’est le cas chez les pythagoriciens, c’est évident chez Platon (Timée). Plotin et le néo-platonisme relayent ce sentiment vers la culture chrétienne occidentale.
Le néo-platonisme par ailleurs contribue fortement à assimiler intelligibilité et unité. Tout procède de l’Un, y compris la beauté. L’Un et la Beauté sont synonymes et traduisent l’harmonie divine. Toute beauté peut être considérée comme une théophanie, manifestation divine dans un phénomènes naturel.
Au Moyen Age, la beauté réside dans la manifestation de l’intelligibilité du divin. U. Eco écrit : " Le goût médiéval n’avait affaire ni avec l’autonomie de l’art, ni avec l’autonomie de la nature. Il impliquait plutôt une appréhension de toutes les relations, imaginaires et supranaturelles, établies entre l’objet contemplé et un cosmos ouvert sur le transcendant. Il signifiait le discernement dans l’objet concret de la réflexion ontologique et de la participation de l’être et du pouvoir de Dieu".
Le fameux quadrivium médiéval : arithmétique, musique, géométrie et astronomie, assemble quatre disciplines qui sont censées produire une ascension de l’âme. Ascension recherchée avant tout par la musique, qui selon Boethius participe à l’unification de l’univers. La musique permet à l’âme de participer au divin et l’âme s’adapte aux proportions de l’univers par l’exercice de la mimesis, qui est l’intelligibilité des choses de ce monde par leur conformité aux choses divines. Tout comme chez Platon la beauté est l’intelligence du reflet de la forme dans l’objet de ce monde. Les mathématiques sont pour lui un intermédiaire dans l’ascension vers les Formes.
Aux Temps Modernes l’intelligibilité prend le visage de la rationalité, sous l’influence du développement des sciences. Rationalité qu’incarnent à nouveau les mathématiques. Une rationalité à l’œuvre depuis longtemps dans la théorie de la musique, une rationalité source de l’harmonie.
La musique baroque manifeste au plus haut point cette esthétique de la rationalité. Une rationalité des passions formulée par Descartes et incarnée par J.S. Bach. Une esthétique à la mesure de l’ordre dans le monde révélé par Galilée et Newton. Une esthétique de l’ordre confortée par la montée en puissance des monarchies européennes.
Tous les penseurs et mathématiciens de Descartes à Leibniz, de Gassendi à Euler voient dans la musique l’expression d’une esthétique rationnelle architecturée par les mathématiques.
Le rationalisme est à l’œuvre dans la musique baroque à travers la doctrine des affections, selon laquelle les émotions humaines sont intelligibles par catégorisation en stéréotypes clairs et distincts, comme la joie, la colère, l’amour, la haine....Ces émotions sont traduisibles en motifs musicaux, que le compositeur combine pour traduire ses sentiments. La nature statique et schématique de ce système et le fait que c’était là un produit typique de l’environnement rationnel du XVIIème siècle est justement remarqué par Bukofzer, historien de la musique baroque. Il écrit : "les moyens de la représentation verbale dans la musique baroque n’étaient pas directs, psychologiques ou émotionnels, mais indirects, c’est à dire intellectuels et imagés.". La composition musicale était un processus intellectuel plutôt qu’une expression intuitive de l’émotion. L’attention était dirigée vers la manipulation de règles et de mots, et par la traduction rationnelle d’idées extra musicales par la notation musicale. Jacop Opper ajoute : "La doctrine des affections constitue la rhétorique musicale du baroque. C’est un vocabulaire systématique qui a son origine d’une part dans l’ancien art oratoire et dans ses figures linguistiques, et d’autre part dans la psychologie mécaniste du 17 éme siècle." .
Une telle rigueur du système des formes s’exprime aussi dans la tragédie classique, genre littéraire pilote de l’âge baroque.
"La juste cadence imposait au discours la double symétrie de la césure et de la rime, et le regard du roi placé au point de perspective ordonnait tout le spectacle en suivant l’axe central du théâtre"
Michel Baridon. Les deux grands tournants du siècle des lumières. .
L’esthétique des raisons est donc une esthétique de l’intelligibilité mécaniste.
En écrivant le célèbre article "Beau" de l’Encyclopédie en 1753 Diderot ne se démarque pas de ce rationalisme baroque, tout en tentant de le justifier comme une donnée naturelle.
"Voilà donc nos besoins et l’exercice le plus immédiat de nos facultés, qui conspirent aussitôt que nous naissons à nous donner des idées d’ordre, d’arrangement, de symétrie, de mécanisme, de proportion, d’unité...."
Et pourtant l’Esprit du Siècle a déjà changé.
Au mécanisme strict succède une conception plastique des phénomènes de la nature et de la pensée. C’est que la mécanique n’est plus la science dominante (avec l’astronomie) et que les sciences de la vie s’avancent sur le devant de la scène. La mécanique elle même se transforme ; la formulation au XVIIIème siècle de principes variationnels (Maupertuis) met l’optimalité au cœur de la mécanique au dépens de l’ordre rigoureux des équations du mouvement. Au principe de simplicité incarné par l’ordre ou la symétrie, succèdent des conceptions faisant part à l’optimalité ou à la perfection. A l’affirmation d’une rigueur succède la mise en place d’une dialectique, d’un compromis.
Locke, Buffon, Linné, Boyle, Lavoisier sont les figures marquantes de ce siècle de l’histoire naturelle, de la botanique, de la physiologie et de la chimie.
A la rigueur des formes l’esthétique de ce siècle sensible substitue l’intelligibilité du foisonnement et de la richesse des formes, ce qui s’exprime naturellement par un compromis entre variété et mise en ordre.
Francis Hutcheson, célèbre philosophe de l’esthétique, formule en 1725 une telle dialectique des tendances contraires.
"Les figures qui suscitent en nous les idées de beauté semblent être celles où l’on trouve une uniformité au sein de la variété. Ce que nous appelon beau dans les objets, pour s’exprimer dans un style mathématique, semble résider dans un rapport composé d’uniformité et de variété."
Leibniz, qui en matière d’esthétique s’en tenait à la réalisation de l’unité par l’accord des proportions entre composants, avait pourtant formulé des idées sur l’optimalité sans les appliquer à l’esthétique.
Leibniz est au tournant d’une révolution conceptuelle considérable qui va mener jusqu’à la formalisation mathématique de l’esthétique.
A l’ordre Leibniz substitue l’intelligibilité par la simplicité.
"Pour ce qui est de la simplicité des voyes de Dieu, elle a lieu proprement à l’égard des moyens, comme au contraire la variété, richesse ou abondance y a lieu à l’égard des fins ou effects. Et l’un doit estre en balance avec l’autre, comme les frais destinés pour un bastiment avec la grandeur et la beauté qu’on y demande. Il est vrai que rien ne couste à Dieu, bien moins qu’à un Philosophe qui fait des hypothèses pour la fabrique de son monde imaginaire, puisque Dieu n’a que des décrets à faire, pour faire naistre un monde réel ; mais en matière de sagesse les decrets ou hypothèses tiennent lieu de dépense à mesure qu’elles sont plus indépendantes les unes des autres : car la raison veut qu’on évite la multiplicité dans les hypothèses et principes, à peu près comme le système le plus simple est toujours préféré en Astronomie."
Leibniz en fin connaisseur de la philosophie scholastique se fait là l’écho de Guillaume d’Ockham, qui avec son fameux "rasoir" disait qu’il ne fallait pas faire d’hypothèses complexes là où l’on pouvait en faire de simples. Mais la grande originalité de Leibniz est de mettre en balance dialectique la simplicité des moyens avec la richesse des fins. La simplicité des moyens rentre pour ainsi dire dans le calcul de l’optimum.
" ....non seulement rien n’arrive dans le monde, qui soit absolument irregulier, mais on ne sçaurait memes rien feindre de tel. Car supposons par exemple que quelcun fasse quantité de points sur le papier à tout hazard, comme font ceux qui exercent l’art ridicule de la Géomancie, je dis qu’il est possible de trouver une ligne géométrique dont la motion soit constante et uniforme suivant une certaine règle, en sorte que cette ligne passe par tous ces points, et dans le même ordre que la main les avoit marqués. Et si quelcun traçoit tout d’une suite une ligne qui seroit tantost droite, tantost cercle, tantost d’une autre nature, il est possible de trouver une notion ou regle ou equation commune à tous les points de cette ligne en vertu de la quelle ces mêmes changements doivent arriver. Et il n y a par exemple point de visage dont le contour ne fasse partie d’une ligne Geometrique et ne puisse estre tracé tout d’un trait par un certain mouvement reglé. Mais quand une regle est fort composée, ce qui luy est conforme passe pour irrégulier. Ainsi on peut dire que de quelque maniere que Dieu auroit créé le monde, il auroit tousjours esté régulier et dans un certain ordre general. Mais Dieu a choisi celuy qui est le plus parfait, c’est à dire celuy qui est en même temps le plus simple en hypotheses et le plus riche en phenomenes, comme pourroit estre une ligne de geometrie dont la construction seroit aisée et les proprietes et effects seroient fort admirables et d’une grande étendue."
Si c’est là le meilleur des mondes possibles s’étonne Candide, alors à quoi ressemblent les autres. L’horreur n’est elle déjà pas à son comble ! Voltaire n’a pas peu contribué à rendre célèbres les thèses de Leibniz tout en les travestissant. Car l’essentiel n’est pas dans une optimalité absolue mais dans l’optimalité qui s’exprime par la dialectique variété/simplicité.
Il semble que la trop grande richesse de la réflexion philosophique de Leibniz ait empêché les commentateurs de donner à ce texte l’importance qu’il mérite, à la lumière en particulier des théories actuelles de la complexité et de la calculabilité, qui ouvrent la voie à une esthétique mathématique.
ESTHETIQUE DES PROPORTIONS
Le Timée de Platon est certainement la plus ancienne source écrite où apparaissent des raisonnements sur les proportions qui constituent le cadre où plus tard, en particulier chez Euclide, sera formulée la notion de section dorée.
Du point de vue de l’esthétique Platon s’inscrit dans la tradition pythagoricienne de l’étude des proportions. Mais il faut bien préciser que le mot proportion nous vient ici de Cicéron, qui a traduit en latin le Timée au 1er siècle après J.C., et rendu le terme platonicien analogia par le latin proportio. Traduction heureuse car l’analogie platonicienne c’est fondamentalement l’égalité de deux rapports. Mais il ne faut pas que cette formulation mathématique vienne cacher le sens profond de l’analogia qui est la ressemblance. Cette ressemblance entre les formes sensibles et les formes intelligibles, entre les choses et les idées, qui constitue la clef de voûte de toute la pensée platonicienne. L’esthétique platonicienne est d’ailleurs une esthétique de la participation du sensible à l’intelligible, qui sera portée à son paroxysme par les néo-platoniciens.
Quant au terme latin analogia, il va, en particulier à l’époque médiévale, finir par désigner une problématique de l’ambiguïté et de l’équivoque. Si l’analogie platonicienne est une doctrine de la certitude, exprimée par la géométrie, l’analogie médiévale, comme en un sens l’analogie moderne, renvoient à la vraisemblance, concept éminemment probabiliste. L’analogie s’insère dans les démarches inductives ou dans les procédés de simulation.
Une longue analyse du texte du Timée de Platon, permet de conclure que si l’on pose la question de savoir si Platon définit le concept lui même de proportion comme une forme esthétique abstraite, la réponse est totalement négative. On ne trouve chez Platon aucune théorie esthétique des proportions en tant que proportions.
Il ne semble donc pas qu’il faille attribuer à la tradition pythagorico-platonicienne une expression mathématique explicite d’une esthétique des proportions. Même si dans "La Métaphysique" (M3, 1078a30) Aristote déclare :
"Les formes les plus hautes du Beau sont l’ordre, la symétrie, le défini, et c’est là surtout ce que font apparaître les sciences mathématiques".
Dans ces conditions les multiples affirmations de la littérature sur l’emploi du nombre d’or ou de la section dorée dans la façade du Parthénon sont autant de plaisanteries, mises en place par d’habiles manipulations des dimensions de l’édifice. Le livre de E.H. Huntley qui constitue une source classique sur le nombre d’or ne se prive pas de cette fantaisie gratuite.
Tout au plus peut on remarquer qu’au théâtre d’Epidaure (IV°siècle av J.C.) il y a 55 gradins répartis en deux séries de 34 et 21 rangs. Trois nombres successifs de la série de Fibonacci dont les rapports sont très proches du nombre d’or. Mais les grecs ne le savaient pas. Et ils n’avaient pas les concepts permettant de passer librement de l’arithmétique à la géométrie.
On peut sans doute dire la même chose des cas avérés de connaissance de la série de Fibonacci pour des raisons pratiques calculatoires. C’est le cas en Inde au Moyen-Age. La première affirmation connue du rapport entre série de Fibonacci et division en extrême et moyenne raison date d’une lettre de Kepler de 1608.
Il y a de la part de l’époque moderne, et plus récemment encore sous l’influence d’écrits comme ceux de Mathyla Ghyka , une distorsion des conceptions pythagorico- platoniciennes par des considérations formalistes du nombre qui n’ont de sens qu’à partir du XVIIème siècle. C’est une vision moderniste de l’arithmétique et de la géométrie qui alimente les spéculations sur le rôle esthétique du nombre d’or.
Des auteurs aussi informés qu’Edgard de Bruyne ou Umberto Eco, tout en décrivant des esthétiques de la proportion au Moyen-Age, prennent de nombreuses précautions vis à vis de telles interprétations modernistes.
Ainsi E. de Bruyne, exposant la doctrine de Boèce, avertit qu’il ne"se laissera pas influencer par les hypothèses modernes sur la Section d’Or ou par les discussions sur son caractère géométrique ou arithmétique".
Et U. Eco, dans un paragraphe sur l’Ecole de Chartres, relais important de la pensée du Timée dans l’occident médiéval, remarque que :
"Dans cette conception, on note que déjà la rigidité des déductions mathématiques se trouve tempérée par un sentiment organique de la nature. Ni Guillaume de Conches, ni Thierry de Chartres, ni Bernard Sylvestre ou Alain de Lille ne nous parlent d’un ordre mathématique inerte ; ils nous parlent en revanche d’un processus organique dont nous pouvons toujours réinterpréter la croissance en remontant à l’Auteur : en voyant dans la seconde Personne de la Trinité la cause formelle, le principe organisateur d’une harmonique esthétique dont le Père constitue la cause efficiente et dont l’Esprit Saint est la cause finale, amor et connexio, anima mundi. Ce n’est pas le nombre, c’est la nature qui est régente de ce monde (Regula Mundi selon Alain de Lille)".
Si on remplace la Trinité par les quatre éléments, Platon ne disait pas autre chose. On est bien loin d’une esthétique mathématique.
Dans une magistrale étude des façades des cathédrales, Thierry de Champis est obligé d’avouer que : "Si l’on cherche les rapports simples selon lesquels sont étagés les axes horizontaux majeurs d’une façade gothique, on ne trouve rien. Pas même de rapport F (le nombre d’or)."
Cependant exceptionnellement, il note que : "A Amiens, la distance AF qui mesure l’espace entre axes du portail central et des portails latéraux est divisée suivant le nombre d’or pour implanter les contreforts C et C’ qui marquent à l’extérieur la largeur de la nef". Ce qui traduit tout au plus l’emploi de constructions géométriques, où comme dans l’architecture d’Asie centrale, le nombre d’or peut accidentellement se glisser. Mais pas de trace de son emploi systématique et délibéré.
Il serait à nouveau tout à fait anachronique et mystifiant de tirer argument de ce que les constructeurs de cathédrales utilisaient une pige constituée de cinq tiges, correspondant chacune à une unité de mesure de l’époque, relatives au corps humain et exprimées en nombre de lignes (environ 2mm) :
La paume 34 lignes
La palme 55 lignes
L’empan 89 lignes
Le pied 144 lignes
La coudée 233 lignes
Ces cinq nombres font partie de la suite de Fibonacci : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377……….mais il faudra attendre le XVII°siècle pour savoir que le rapport entre deux termes successifs tend vers le nombre d’or.
Et pourtant tout au long des siècles, avec des appellations variées, on trouvera réaffirmé l’idéal d’une esthétique des proportions mais sans véritable formulation quantitative, à fortiori mathématique.
Les grecs, pour nommer la beauté, utilisaient des termes qui désignaient la disposition, l’arrangement ou l’ordre des parties : symmetria pour la beauté visible, harmonia , consonance, pour la beauté audible, ou taxis pour l’ordre.
C’est sans doute chez Plotin que l’on trouve cette esthétique clairement formulée (Du Beau. Ennéades) : La beauté réside dans "l’accord et la proportion des parties entre elles et avec le tout".
Mais à part les fractions simples des harmonies musicales, et l’emploi de fractions comme 5/8, 1/8, ou 1/3, on ne trouve pas de chiffrages précis des proportions esthétiques.
Platon lui même s’est borné à des affirmations générales : " C’est toujours beau et vertueux de conserver la mesure et les proportions" (Philèbe 64E), "Le laid signifie simplement l’absence de mesure" ( Sophiste 228A).
Au 1er siècle avant J.C. Vitruve avait déjà exprimé cela dans le domaine de l’architecture. Nous le donnons dans le texte français du XVIème siècle ré orthographié :
"La composition des temples consiste en symétrie, de laquelle tous Architectes doivent diligemment entendre le secret. Cette symétrie est engendrée de proportion que les Grecs nomment Analogie.
Proportion est un certain rapport et convenance des membres ou particularités à toute la masse d’un bâtiment et de cela vient à se parfaire la conduite d’icelles symétries.
Or n’y a - t -il ni Temple ni autre édifice qui puisse avoir grace de bonne structure sans symétrie et proportion, et si la convenance n’est gardée en toutes ses parties aussi bien qu’en un corps humain parfaitement formé."
De la composition des maisons sacrées, ensemble des symétries du corps humain.
Chapitre I
Le corps humain comme étalon de la beauté, voilà une idée que l’on retrouve partout et de tout temps. Chez Leonardo da Vinci et Dürer, dans l’Encyclopédie de Diderot et chez Le Corbusier avec son fameux Modulor.
Saint Augustin la formulera pour le monde chrétien : " Quid est corporis pulchritudo, congruentia partium".
Cette congruence dont parlait déjà Cicéron sous le nom d’aptum.
Saint Augustin affirme avec force : " Toute chose ne plait que par sa beauté, dans sa beauté par les formes, dans les formes par les proportions, dans les proportions par les nombres" (De ordine. II, 15, 42)
Mais Saint Augustin (354-430) distingue le beau (pulchrum) comme un en soi absolu, opposé au laid et au difforme, et l’adapté (aptum) qui est relatif- une chose se trouve adaptée par rapport à une autre. L’apte est fondé sur le lien entre les parties et le tout, la beauté est absolue. Bien plus tard Alberti distinguera la beauté des embellissements.
L’absolu de la beauté est bien sûr le reflet de la beauté divine.
Dans ses considérations sur la beauté du monde Augustin subit l’influence des écrivains antiques et des écrivains chrétiens qui soulignaient l’unité et la cohérence de toutes les parties de l’univers et insistaient sur l’unité et l’harmonie du corps humain. La comparaison de l’homme au temple de Dieu était très répandue au Moyen Age. Augustin considérait comme un véritable prodige la correspondance entre l’homme et le monde, doctrine de l’analogie entre le microcosme et le macrocosme , donnant à la considération des proportions un caractère symbolique bien éloigné de toute pensée mathématique. Ainsi on trouve chez Augustin un rapprochement entre les proportions du corps humain et les proportions de l’Arche de Noe (Cité de Dieu XV, 26) qui sont données comme : longueur 300 coudées, largeur 50 et hauteur 30. La taille de l’homme, sa largeur et son épaisseur sont dans les rapports 300:50:30 c’est à dire 1,1/6,1/10.
On retrouvera ces mêmes proportions avec la même analogie avec celles de l’arche au XV ème siècle chez Ganaccio Manetti, décrivant le projet de la basilique Saint Pierre, conçu par L.B. Alberti.
Alberti lui même rapporte ces proportions dans son traité "De re aedificatori" (IX, 7).
Le grand Alberti (1404-1472), artiste et savant, dont André Chastel (16) dit qu’il "élève l’architecture au rang des arts libéraux….à cette intellectualisation, se lie un effort de rationalisation complète : tout dans l’édifice se calcule et s’analyse, le beau est la valeur absolue d’un organisme esthétique, dont rien ne peut être modifié. Cette beauté fait rayonner dans l’âme humaine une joie pure, suscite un accord irremplaçable entre l’homme et l’univers : par le calcul mathématique, le jeu des proportions, ou en termes empruntés au Timée de Platon, des médiétés…"
Alberti déclare que : "la beauté est un accord ou une certaine conspiration, s’il faut parler ainsi, des parties en la totalité, ayant son nombre, sa finition et sa place, selon que requiert la suscite correspondance, absolu certes et principal fondement de nature".
Après ces belles paroles, Alberti mathématicien, déclare croire en une profonde unité de la nature au nom de laquelle il adopte une correspondance entre les intervalles musicaux et les proportions en architecture.
"car (certes) ainsi va la chose, considéré que les nombres causans [qui sont la cause] que la concordance des voix se rende agréable aux aureilles, ceulx la sans autres [ceux là seuls] font aussi que les yeulx et l’entendement se remplissent de volupté merveilleuse".
Et de là vient tout le système des proportions en usage à la Renaissance. Un système de rapports arithmétiques simples, pour des gens qui assimilent encore note musicale et longueur de cordes. Les architectes de la Renaissance cherchent à construire une musique visible. Les proportions musicales exprimant comme une structure interne universelle on cherche à les transposer dans le domaine cosmologique (musique des sphères célestes), anthropométrique (harmonie du corps humain), alchimique et ésotérique, et bien sur architectural. Nous voilà renvoyés à Platon et à Pythagore.
A peine un siècle plus tard, Palladio ne procèdera pas autrement.
Il est peu probable dans ces conditions que toutes ces esthétiques des proportions aient fait usage de nombres irrationnels (à fortiori du nombre d’or).
Ainsi en l’absence de véritables règles mathématiques définissant l’esthétique des proportions, on doit reconnaître qu’il s’agit là bien souvent d’un discours général plutôt que de formules opératoires. On ne peut ainsi qu’être d’accord avec U. Eco :
"Ainsi semble-t-il, à tous les siècles on a parlé de la Beauté de la proportion, mais selon les époques, en dépit des principes arithmétiques et géométriques affirmés, le sens de cette proportion a changé. Assurer qu’il doit y avoir un juste rapport entre la longueur des doigts et la main, et entre celle ci et le reste du corps, c’est une chose ; déterminer le bon rapport était une affaire de goût qui pouvait évoluer au fil des siècles. Et en effet, il y a eu divers idéaux de la proportion. La proportion des premiers sculpteurs grecs n’était pas la même que celle de Polyclète, les proportions musicales de Pythagore n’étaient pas celles de médiévaux, car la musique qu’ils estimaient agréable était différente….
Les bâtisseurs de cathédrale suivaient un critère proportionnel bien à eux, différent de celui de Palladio. Pourtant de nombreux spécialistes contemporains ont tenté de démontrer que les principes d’une proportion idéale, y compris la réalisation du nombre d’or, se retrouvent dans les œuvres de tous les siècles, même quand les artistes ignoraient les règles mathématiques correspondantes. Si on conçoit la proportion comme règle rigoureuse alors on s’aperçoit qu’elle n’existe pas dans la nature, et que l’on peut rejoindre les argumentations de Burke au XVIII° siècle, qui nie que la proportion soit un critère de Beauté".
Au XVIII° siècle en effet on établit la différence qui existe entre la physiologie de la vue et la physiologie de l’audition, ce qui contribue à discréditer les analogies entre les proportions musicales et les proportions géométriques visuelles.
En fait il y a longtemps déjà que l’esthétique des proportions n’est plus dominante. Plotin est le premier a l’avoir mis en cause, arguant du fait que des choses simples, donc sans composition, peuvent être belles. Telles le soleil, la lumière ou l’or, dont la beauté réside dans l’éclat.
L’esthétique médiévale a souvent suivi Plotin. Ainsi Pseudo-Dyonisius ( De divinis nominibus IV, 7) formule le double critère de la beauté comme "proportio et claritas". Il est suivi par Robert Grossetete qui tout en décrivant la beauté comme proportion, maintient que la beauté de la lumière" n’est pas basée sur le nombre, la mesure, le poids ou quoique ce soit de semblable, mais sur la vue" (Hexaemeron 147,V). Position adoptée par Thomas d’Aquin dans la Summa Theologica : " Pulchrum consistit in quadam claritate et proportione".
Position soutenue par l’Académie Platonicienne de Florence, dont le chef Marsile Ficin remarquait : " Certains regardent la beauté comme un arrangement des parties composantes, ou pour utiliser leur langage comme la commensurabilité ou la proportion….. Nous n’acceptons pas ce point de vue car ce type de disposition ne se produit que dans les corps composés et les choses simples ne pourraient donc pas être belles. Et pourtant les couleurs pures, les lumières, les sons individuels, l’éclat de l’or et de l’argent, le savoir, l’âme, sont pures et simples et néanmoins belles". (Convivium V,1)
HARMONIE
Du grec harmonia, union, assortiment, c’est la situation où se trouvent plusieurs éléments réunis qui s’accordent. C’est la doctrine des accords et l’idéal de la coexistence des parties. Concept suffisamment vague pour supporter selon les domaines et selon les époques des définitions variées.
En musique l’accord est la réunion coordonnée de plusieurs sons entendus simultanément. La constitution des accords, leur enchaînement, la place qu’ils occupent et le rôle qu’ils remplissent dans le discours musical constituent l’Harmonie.
En 1722, le Traité de l'harmonie de Rameau ouvre aux regards des musiciens des horizons nouveaux, en même temps qu'il attire sur la théorie musicale l'attention d'une portion du monde savant. Rameau y pose les prémisses d'un système qu’il développera en d'autres écrits et que dès l'abord il déclare fondé sur "les principes naturels", c'est-à-dire sur les données acoustiques fournies par le partage de la corde vibrante, les rapports des sons et l'existence des sons harmoniques, toutes matières que les travaux encore récents du physicien Sauveur avaient proposées à l'étude des "philosophes". Tous les degrés de la gamme diatonique étant reconstruits par le rapprochement des sons fournis par la résonance du corps sonore, Rameau met en fait que "la mélodie naît de l'harmonie"; pour adapter sa théorie à des buts pratiques, il établit une classification des accords, considérés en eux-mêmes et d'après leur relation avec ceux qui les précèdent ou les suivent, desquels ils dépendent ou qu'ils commandent, par anticipation, supposition, suspension, prolongation ; il entreprend enfin d'établir entre eux un lien rationnel et fixe, par l'artifice de la basse fondamentale, devenu par la suite à ses yeux comme à ceux de ses commentateurs, la clef de voûte de sa doctrine.
Il est naturel de donner le qualificatif d’harmoniques aux sons qui accompagnent toujours un son donné selon la décomposition de Fourier et d’étendre cette dénomination aux composantes de Fourier d’une fonction périodique.
La notion d’harmonie en général est liée à la notion d’esthétique des proportions. Tout au long des siècles, avec des appellations variées, on trouvera réaffirmé l’idéal d’une esthétique des proportions mais sans véritable formulation quantitative, à fortiori mathématique.
Les grecs, pour nommer la beauté, utilisaient des termes qui désignaient la disposition, l’arrangement ou l’ordre des parties : symmetria pour la beauté visible, harmonia, consonance, pour la beauté audible, ou taxis pour l’ordre. L’harmonie désignait l’organisation de l’univers, du cosmos, par opposition au chaos. Chez les pythagoriciens l’harmonie découle de leur conception du nombre comme synthèse du limité et de l’illimité. Le cosmos se trouve selon eux constitué par une série de sphères concentriques autour de la terre, dont les distances entre elles correspondent aux relations numérique de l’octave musicale (Harmonie des sphères). Pour Héraclite l’harmonie est dans l’unité des contraires. Platon dans le "Timée" développe les idées pythagoriciennes. Aristote envisage l’harmonie comme l’unité et l’accomplissement du tout, comme l’unité dans la diversité
C’est sans doute chez Plotin que l’on trouve cette esthétique clairement formulée (Du Beau. Ennéades) : La beauté réside dans "l’accord et la proportion des parties entre elles et avec le tout".
Mais à part les fractions simples des harmonies musicales, et l’emploi de fractions comme 5/8, 1/8, ou 1/3, on ne trouve pas de chiffrages précis des proportions esthétiques.
Platon lui même s’est borné à des affirmations générales : "C’est toujours beau et vertueux de conserver la mesure et les proportions" (Philèbe 64E), "Le laid signifie simplement l’absence de mesure" (Sophiste 228A).
Au 1er siècle avant J.C. Vitruve avait déjà exprimé cela dans le domaine de l’architecture. Nous le donnons dans le texte français du XVIème siècle ré orthographié :
"La composition des temples consiste en symétrie, de laquelle tous Architectes doivent diligemment entendre le secret. Cette symétrie est engendrée de proportion que les Grecs nomment Analogie.
Proportion est un certain rapport et convenance des membres ou particularités à toute la masse d’un bâtiment et de cela vient à se parfaire la conduite d’icelles symétries.
Or n’y a - t -il ni Temple ni autre édifice qui puisse avoir grace de bonne structure sans symétrie et proportion, et si la convenance n’est gardée en toutes ses parties aussi bien qu’en un corps humain parfaitement formé."
De la composition des maisons sacrées, ensemble des symétries du corps humain.
Chapitre I
Le grand Alberti (1404-1472), artiste et savant, déclare que : " la beauté est un accord ou une certaine conspiration, s’il faut parler ainsi, des parties en la totalité, ayant son nombre, sa finition et sa place, selon que requiert la suscite correspondance, absolu certes et principal fondement de nature". Après ces belles paroles, Alberti mathématicien, déclare croire en une profonde unité de la nature au nom de laquelle il adopte une correspondance entre les intervalles musicaux et les proportions en architecture.
"car (certes) ainsi va la chose, considéré que les nombres causans [ qui sont la cause] que la concordance des voix se rende agréable aux aureilles, ceulx la sans autres [ceux là seuls] font aussi que les yeulx et l’entendement se remplissent de volupté merveilleuse".
Et de là vient tout le système des proportions en usage à la Renaissance. Un système de rapports arithmétiques simples, pour des gens qui assimilent encore note musicale et longueur de cordes. Les architectes de la Renaissance cherchent à construire une musique visible. Les proportions musicales exprimant comme une structure interne universelle on cherche à les transposer dans le domaine cosmologique (musique des sphères célestes), anthropométrique (harmonie du corps humain), alchimique et ésotérique, et bien sur architectural. Nous voilà renvoyés à Platon et à Pythagore. Pour Leibniz confronté au problème de l’interaction entre l’âme et le corps il y’a en fait entre eux une Harmonie préétablie, une harmonie si parfaite que chacune d’elles, tout en ne faisant que se développer selon les lois qui lui sont propres, éprouve des modifications qui correspondent exactement aux modifications éprouvées par l’autre. Leibniz affirme que toutes ses"monades" correspondent entre elles selon une diposition divine.
Kant transporte la source de l’harmonie dans le sujet humain en tant qu’accord entre la raison et la perception. Pour Hegel c’est une correspondance entre des différences qualitatives, prises dans leur ensemble et découlant de l’essence même des choses.
L’harmonie des couleurs développe une problématique spécifique. On distingue sur le cercle chromatique les couleurs voisines qui présentent une harmonie des analogies et les couleurs opposées proches des complémentaires qui présentent une harmonie des contrastes. De tous temps l’association du rouge ou du rose avec le vert a paru belle. Leonard de Vinci a vanté l’association du jaune et du violet et Newton celle du bleu et de l’orangé. Harmonies des contrastes.
ESTHETIQUE MATHEMATIQUE
Méthodologiquement le problème de l’esthétique mathématique est celui du beau ordinaire et semble analogue à celui de l'information selon Shannon. Mathématiser la beauté comme on a mathématisé l’information. Réduire la beauté à une structure des faits.
Il s'agit d'un beau syntaxique dénué de toute connotation sémantique. On doit pouvoir réussir à son sujet la même disjonction, centrale dans la théorie de Shannon, entre le signe et le sens.
Le beau ordinaire s'intéresse à la configuration du signal et ignore son contenu signifié.
Il est l'objet de l'esthétique mathématique qui trouve aujourd'hui une expression précise dans le cadre de la théorie de la complexité.
Depuis le milieu du XIX° siècle un certain nombre de théories ont réussi à opérer des disjonctions fondamentales entre la forme et le contenu. La logique mathématique tout d’abord, avec les conséquences que l’on connaît pour les mathématiques, la linguistique ensuite avec sa répercussion sur la sémiotique, la théorie de l’information enfin qui ne s’intéresse pas au sens mais se concentre sur la configuration des signaux. On peut dire qu’il y a chaque fois tentative de formuler une doctrine structuraliste, privilégiant les structures aux dépens des objets. Nombreux sont les théoriciens de l’esthétique qui rêveraient d’une telle approche dans le domaine de l’art et de l’esthétique en général. C’est sans doute là l’enjeu de ce que l’on appelle la définition d’une beauté ordinaire, débarrassée de toutes ses connotations sémantiques. Un problème qui se retrouve aujourd’hui dans une problématique à la mode, celle de la simplicité et de la complexité, et dans les nombreuses tentatives de les exprimer dans le cadre de la théorie de l’information.
Que la beauté soit un compromis entre le pouvoir de l’imaginaire et la restriction de la raison est une idée diversement formulée par de nombreux philosophes, à commencer par Kant. La théorie de l’information et de la complexité permet de formuler de manière mathématique cette dialectique entre la surprise et l’intelligibilité, l’innovation et la lisibilité, en utilisant en fait les deux types les plus connus de complexité, la complexité aléatoire de Kolmogorov et la complexité organisée de Bennett. La beauté mathématisée, beauté ordinaire s’il en est, apparaît comme un compromis entre le désordre, évitant la banalité de l’ordre répétitif, et l’ordre introduit par la formulation raisonnable.
Le problème des rapports entre beauté, harmonie et propriétés mathématiques a été largement posé et illustré dans l'Antiquité. Les fondements d'une démarche faisant jouer un rôle central aux proportions, aux relations numériques, aux propriétés de symétrie sont élaborés dans la"pensée pythagoricienne" et relayés par le platonisme vers la culture occidentale.
Le rôle, contesté ou non, du nombre d'or, l'utilisation des tracés régulateurs par les peintres, les problèmes de la perspective, et la pratique et la théorie de l'architecture sont les manifestations les plus connues de recettes mathématiques pour l'obtention de la beauté.
Il y a là un immense domaine où l'art et la mathématique se côtoient, s'observent, se fécondent mutuellement. Ce domaine s'enrichit de siècles en siècles des progrès des mathématiques et de la pratique des artistes.
Brillamment illustrée par Albrecht Dürer et Leonardo da Vinci cette synergie entre art et science va souffrir de l'isolement progressif des deux domaines, au point de ne pas constituer aujourd'hui une zone bien explorée et bien intégrée de la culture.
Néanmoins les besoins de l'informatique et de l'intelligence artificielle sont en passe de remettre au premier plan la mathématisation de l'art, de l'image numérique à la musique informatique. Mais l'éducation générale dans ce domaine, reste totalement à développer. Il y a là des niches prodigieusement riches pour l'enseignement parallèle de l'art et des mathématiques.
Cet enseignement s'il était développé devrait révéler que l'art ne fait pas tant appel à la précision numérique ou logique des mathématiques qu'à ces aspects moins connus et plus délicats que l'on pourrait globalement appeler, "les mathématiques qualitatives". Marquant par là, après tant de siècles, le retour en force du qualitativisme d'Aristote, dont le grand mathématicien René Thom s'est fait l'apôtre. Très sommairement caractérisé ce mouvement peut être appelé "la disparition du nombre au profit du paysage".
Entre l'art et les mathématiques, le rapport est le même qu'entre la physique et les mathématiques. Une modélisation sans cesse battue en brèche par la réalité. Ce n'est pas le monde qui est mathématique, c'est notre esprit qui cherche à l'être. C'est nous qui cherchons à enserrer le désordre du monde dans le filet de l'ordre des mathématiques. Avec plus ou moins de bonheur.
Si bien qu'en définitive l'art comme les mathématiques nous apprennent plus sur nous-mêmes et notre esprit que sur la Nature. En cherchant à mesurer la beauté, on cherche en fait à caractériser la lisibilité. C'est là l'intérêt des discours sur l'art en terme de complexité ou d'entropie. Des discours qui rencontrent des discours analogues dans les sciences cognitives, en particulier celles de la perception. Une certaine unité de pensée et de formalisation se met en place au carrefour des sciences cognitives et des sciences du calcul. Cette démarche rejaillit sur les conceptions de l’esthétique.
C’est le grand mathématicien américain G.D. Birkhoff qui a le premier proposé une mesure mathématique de la beauté.
"L’expérience esthétique type peut être regardée comme renfermant trois moments successifs :
1° un effort préliminaire nécessaire pour bien saisir l’objet, et proportionnel à la complexité (C) de l’objet ;
2° le sentiment du plaisir ou mesure esthétique (M) qui récompense cet effort préliminaire ;
3° ensuite la perception consciente que l’objet jouit d’une certaine harmonie ou symétrie ou ordre (O), plus ou moins caché, qui semble être une condition nécessaire, sinon suffisante, pour l’expérience esthétique elle même.
Ainsi se pose presque immédiatement la question, de déterminer, dans un cas donné, jusqu’à quel point cette mesure esthétique n’est que l’effet de la densité des relations d’ordre, c’est à dire leur rapport à la complexité. Et ainsi semble-t-il bien naturel de proposer une formule telle que
M = O / C
Le besoin esthétique bien connu de l’unité dans la variété est évidemment étroitement lié avec notre formule. La définition du beau comme présentant le nombre maximum d’idées dans le minimum de temps, donnée par le hollandais HEMSTERHUIS au XVIIIème siècle, est aussi d’une nature analogue."
C’est le degré d’organisation comparé à la richesse des faits. Birkhoff n’a pas eu sur ce terrain de continuateurs immédiats. Il faut reconnaître que ses concepts de complexité et d’ordre sont bien intuitifs et vagues. Le français Abraham Moles et l’allemand Max Bense exprimeront une idée voisine en parlant du rapport entre l’originalité et l’intelligibilité, et en formulant le problème esthétique dans le cadre de la théorie de l’information. Il faudra attendre la seconde moitié du siècle pour que l’apparition des concepts de la théorie de l’information et ceux de la théorie du calcul et de la complexité, suscitent des mises en forme mathématiques plus précises.
La complexité de Kolmogorov, complexité aléatoire, mesure le degré d’aléatoire de l’objet alors que la complexité temporelle ou complexité organisée, définie par Bennett, en mesure le degré d’organisation.
On a très justement remarqué que dans la formule esthétique de Birkhoff les deux termes correspondent précisément à ces deux types de complexité.
L’ordre signifie en fait simplicité de la description. Plus l’algorithme descriptif est court plus l’objet présente d’ordre. C’est là la complexité de Kolmogorov.
Quant à la complexité, c’est le temps nécessaire pour engendrer l’objet par l’algorithme minimal. C’est la complexité de Bennett.
Ainsi la formule de Birkhoff représente un compromis entre la longueur d’un programme minimal et le temps d’exécution. Un compromis entre la richesse (la multiplicité) des faits et leur organisation
Il ne faut cependant pas ignorer que même ces considérations sur la complexité dépendent toujours d’un point de vue d’observateur et que l’on ne sait pas vraiment quel parti choisit la perception. Si bien que l’esthétique mathématique n’est que la formalisation des choix perceptifs du sujet humain et n’instaure pas une véritable ontologie de l’œuvre d’art.
NOMBRE D’OR
Le nombre d’or, est un nombre irrationnel, aux très riches propriétés arithmétiques et géométriques. Associé depuis l’Antiquité et la Renaissance à des problématiques géométriques, il se révèle aujourd’hui au cœur de problématiques dynamiques et probabilistes. Ce qui pouvait sembler une recherche d’un partage bien proportionné de l’espace peut s’avérer en fait la recherche d’un bon échantillonnage de données spatiales ou temporelles. Ce nouveau point de vue, rattachant le nombre d’or à une problématique plus générale, en abolit l’aspect mystique et singulier, et anéantit les tentatives récentes de lui faire jouer un rôle décisif dans l’esthétique mathématique. Cet emploi bien particulier en esthétique, n’est attesté par aucun document avant le XIXème siècle. Quant à un emploi réel inconscient dans la composition des oeuvres, dans le cadre d’une esthétique des proportions, une analyse honnête permet d’en douter, malgré les nombreuses affirmations tendancieuses à ce sujet. Les tracés régulateurs imposés à posteriori aux oeuvres sont très loin d’être convaincants, et relèvent souvent d’une adhésion inconsidérée à la symbolique des nombres.
On assiste en fait aujourd’hui à une transition d’une esthétique des proportions, de la symétrie et de l’ordonnancement à une esthétique de l’intelligibilité de l’objet complexe où la représentation simplifiée des formes joue un rôle central. C’est dans ce passage de la géométrie à la théorie de l’information et de la complexité que le nombre d’or pourrait se voir attribuer un rôle tout à fait inattendu.
Les considérations contemporaines sur l’esthétique mathématique ne se fondent pas sur des considérations de proportions mais sur des évaluations de complexité, qui rendent le problème esthétique du nombre d’or bien désuet.
Avant d’examiner en détail ce que nous appelons le mythe du nombre d’or, rappelons rapidement les points essentiels de son histoire mathématique. Une histoire qui n’est certainement pas close, car le nombre d’or est un feu d’artifice de propriétés mathématique variées qui le rattachent à de très nombreux domaines de l’arithmétique et de la géométrie.
R. Herz-Fischler examine en détail le texte des éléments d’Euclide, où apparaît pour la première fois et à plusieurs reprises la construction de la division d’un segment en moyenne et extrême raison.
Avant de devenir un problème arithmétique, le nombre d’or est un problème géométrique, traité par des constructions géométriques.
Au livre VI des Eléments on trouve la proposition 30 :
Diviser une droite finie en extrême et moyenne raison.
Une construction élaborée utilisant la proposition 29, permet de déterminer un point entre A et B tel que
AB/AE = AE/EB
AE est donc la moyenne géométrique entre le segment AB et le segment EB, entre le tout et le reste.
C’est la valeur commune de ces rapports, indépendante du segment AB considéré, 1,61803......, qui sera appelée (beaucoup plus tard) le nombre d’or. C’est cette division du segment qui deviendra la section dorée.
Au livre II on trouve la proposition 11 :
Diviser une ligne droite donnée de sorte que le rectangle contenu par le tout et un des segments soit égal au carré construit sur le segment restant.
La construction proposée commence par tracer le carré ABCD de côté AB, appelle H le milieu du côté AC de ce carré, prolonge HA jusqu’à f de manière à ce que HF=HB et construit le carré AFGE. Ce carré a le même surface que le rectangle de côtés EB et AB.
Autrement dit
AB.EB = AE.AE
Ce qui prouve que le segment AB est divisé par E en extrême et moyenne raison. Mais Euclide n’en fait pas la remarque, car contrairement à la proposition 30 qui doit lui appartenir, il rapporte sans doute là une construction plus ancienne, peut-être pythagoricienne.
Il y a effectivement dans les Eléments, consignation de résultats connus par Euclide mais qui ne sont pas obtenus par lui.
Ainsi dans le livre XIII, les neufs premières propositions qui sont préliminaires à la construction et à la comparaison des cinq solides réguliers et utilisent les propriétés d’un segment divisé en moyenne et extrême raison, c.a.d. en fait II, 11, sont usuellement attribuées à Eudoxe (contemporain de Platon ). Proclus (412-485) dans ses commentaires sur les Eléments, affirme qu’Eudoxe "ajouta de nombreux théorèmes à ceux que Platon obtint sur la section".
Cette "section" est elle notre section dorée ?
Il est difficile de dire si Platon avait conscience de la signification de résultats dont Euclide lui même ne voit pas souvent le rapport avec la section dorée (Cf. Section20).
C’est nous aujourd’hui qui constatons l’emploi implicite de la section dorée, en particulier lorsque le théorème II, 11 est utilisé. C’est ainsi le cas pour la proposition IV, 10 pour construire un triangle isocèle ayant chacun des angles à la base double de l’angle restant (le triangle 72°-72°-36°), et la proposition IV, 11 qui en découle pour inscrire un pentagone ordinaire dans un cercle.
Notons que les diagonales du pentagone régulier se coupent en définissant des sections en moyenne et extrême raison.
Pour Euclide tout ceci n’a pas une signification exceptionnelle et fait partie d’un énorme arsenal de constructions géométriques.
Il en sera de même pendant des siècles. Archimède, Ptolémée, les géomètres arabes et leurs héritiers médiévaux en Occident, connaissent Euclide et utilisent toutes ses constructions sans privilégier aucunement la"section".
Les Eléments font l’objet de nombreux commentaires à l’époque scholastique, dont ceux d’Albert le Grand et de Roger Bacon. L’un et l’autre font largement appel au commentaire d’Al Nayziri traduit par Gérard de Crémone (1114-1187 ), grand traducteur de textes arabes. Mais c’est l’édition d’Euclide et le commentaire de Campanus de Novare, rédigé sans doute entre 1255 et 1261, qui eurent sur la science occidentale une influence déterminante à la mesure du succès de l’ouvrage dont témoigne sa diffusion et sa réédition. Les Eléments jouent un rôle décisif dans la constitution de la pensée scientifique, à la base de l’enseignement de toute science comme de tout savoir encyclopédique. Aucune attention particulière n’est donnée à la"section".
Il faudra attendre qu’un mathématicien italien, Luca Pacioli, publie à Venise en 1509 un ouvrage intitulé"De divina proportione" pour que la divine proportion vienne sur le devant de la scène mathématique. Encore que ce livre ne contienne aucun résultat nouveau, aucune recommandation aux artistes, et ne soit qu’une compilation munie de titres exaltés des parties des Eléments d’Euclide concernant la "section". Elève de Pierro della Francesca, ami de Leonardo da Vinci qui a contribué à illustrer l’ouvrage, étant certainement connu de Dürer, Luca Pacioli n’a notablement pas transmis à ces artistes un enthousiasme particulier pour la divine proportion, bien que ceux ci la connaissent bien évidemment et l’utilisent dans la construction de polygones réguliers (le pentagone et le dodécaèdre).
Les raisons de l’appellation "divine" sont chez Luca Pacioli d’ordre métaphysique, platoniciennes et chrétiennes. En matière esthétique, Pacioli n’a qu’une approche conventionnelle et vitruvienne des proportions. Le corps humain reste à l’origine de proportions harmonieuses. Et si son ami daVinci trouve la divine proportion dans le corps humain il n’en tire pas de conséquences esthétiques particulières.
Ce n’est qu’au XVII° siècle avec Kepler que la divine proportion sort de son contexte géométrique pour prendre un caractère arithmétique avec la découverte que le rapport des termes successifs de la série de Fibonacci converge vers le nombre d’or. Par ailleurs on établira que les approximants successifs du nombre d’or dans son développement en fraction continue sont des fractions simples 3/2,5/3,8/5……
Le problème du nombre d’or comporte deux aspects totalement distincts. Il y a d’une part l’histoire mathématique du nombre d’or, qui remonte pour ce que nous en savons au moins au 3ème siècle avant J.C. avec les Eléments d’Euclide. Il y a d’autre part un courant de pensée fortement empreint d’ésotérisme, qui cherche à attribuer au nombre d’or et à la section dorée des vertus esthétiques. Ce courant de pensée a une origine précise, le livre d’Adolf Zeising en 1854 :
"Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers aus einem bisher unerkannt gebliebenen, die ganze natur und Kunst durchdringenden morphologischen Grundsetze entwickelt und mit einer vollständingen historischen Uebersicht der bis herigen Systeme begleitet
Weigel. Stuttgart.
Nouvelle théorie des proportions du corps humain développée à partir d’une loi morphologique de base restée jusqu’à présent inconnue et qui imprègne toute la nature et l’art, accompagnée par un résumé historique complet des systèmes en usage.
Avant 1854 personne n’a jamais explicitement formulé un quelconque emploi esthétique du nombre d’or, comme cela sera le cas dans la seconde moitié du XIXème siècle et au XXème siècle. Si l’on semble si souvent trouver le nombre d’or dans les proportions architecturales ou picturales, c’est sans doute bien involontairement par suite sans doute de l’emploi de constructions géométriques qui le font facilement intervenir. Ainsi la question qui se pose est double : la section dorée remplit elle véritablement les fonctions esthétiques que ses utilisateurs lui assignent ? Sans utiliser explicitement et intentionnellement la section dorée, les créateurs du passé la laissent-ils s’introduire dans leurs oeuvres ? Si le nombre d’or n’a pas les vertus qu’on lui prête pourquoi se serait il glissé insidieusement là où on ne l’attendait pas ?
L’histoire des conceptions esthétiques aux XVII et XVIIIèmes siècles, tout en laissant place à un prolongement des idées de la Renaissance, est marquée par deux courants successifs.
Un courant rationaliste, influencé par le développement des sciences exactes. Une esthétique rationnelle, architecturée par les mathématiques, et dont la musique baroque est la plus belle expression.
Un courant organique, lié à la naissance et au développement de l’histoire naturelle. Une esthétique de la connaissance et de l’intelligibilité, fortement marquée par l’empirisme anglais.
Il est notable que dans le cadre de l’esthétique de la raison, axée sur la rigueur du système des formes et sur les idées "d’ordre, d’arrangement, de symétrie, de mécanisme, de proportion, d’unité" comme l’énonce Diderot dans l’Encyclopédie, il ne soit venu à personne l’idée d’ériger en canon esthétique la divine proportion. C’est qu’à l’univers ordonné de la Renaissance, où règnent la géométrie et l’harmonie musicale, clos et statique, l’époque baroque substitue un univers en mouvement et une raison dynamique, où la simple considération des proportions dans l’équilibre cède la place à une ouverture des formes. La divine proportion n’a rien à faire dans ce contexte.
C’est un allemand, Adolf Zeising, qui a franchi le pas en 1854, en plein Romantisme, et dans une atmosphère d’esthétique philosophique correspondant à la constitution en Allemagne d’une science de la connaissance esthétique.
L’œuvre de Zeising est très peu étudiée, tant du point de vue de ses sources d’inspiration que de l’impact de ses écrits.
On peut seulement remarquer que quelques années avant la publication de son ouvrage, une certaine attention se porte sur la section dorée dans des publications allemandes.
Le terme "section dorée" a été créé par des mathématiciens allemands qui l’utilisent dans des manuels de géométrie et de mathématiques, dans les années 30 du XIX ème siècle. Citons :
F. Wolff. Lehrbuch der Geometrie. Rainer. Berlin. 1833.
M. Ohm. Die reine Elementar Mathematik.Jonas. Berlin. 1835.
J.J. Kroll. Grundriss der Mathematik für Gymnasien und andere höhere Lehranstalten. Reichardt.Eisleben. 1839.
En 1849 paraît un petit ouvrage sur les propriétés spéciales de la section dorée :
A. Wiegand. Der allgemeine goldene Schnitt und sein Zusammenhang mit der harmonische Teilung. H.W. Schmidt. Halle. 1849.
La même année paraît un nouveau livre sur l’analyse des proportions dans le corps humain :
B. Schmidt. Proportionschlussel. Neues System der Verhältnisse des menschlichen Körpers. Stuttgart.
Mentionnons aussi le livre de D.R. Day. Proportion or The geometric principle of beauty. Blackwood. Edinburgh. 1843.
Après avoir discuté les théories régnantes les proportions du corps humain et les proportions dans l’art et dans la nature, Zeising développe une esthétique originale, issue de l’esprit romantique et idéaliste. Dans cette théorie la Section Dorée joue un rôle important en tant que compromis parfait entre l’unité absolue et la variété absolue. Echo peut être de ce débat entre la raison et la passion, l’ordre et la variété, qui domine le XVIIIème siècle, et que Francis Hutcheson, célèbre philosophe de l’esthétique, a formulé en ces termes en 1725 :
"Ce que nous appelons beau dans les objets, pour s’exprimer dans le style mathématique, semble résider dans un rapport composé d’uniformité et de variété".
Zeising voit en quelque sorte la section divine comme image idéale de ce rapport.
Suivons l’analyse du phénomène Zeising que fait Marcus Frings.
Zeising est convaincu que dans la Section Dorée :
"se trouve le principe fondamental de toute formation tendant vers la beauté et la totalité dans le domaine de la nature et dans le champ des arts picturaux, et que c’était là dès le tout début le but le plus élevé et l’idéal de toutes les figurations et relations formelles, cosmiques ou individuelles, organiques ou inorganiques, acoustiques ou optiques, en trouvant sa plus parfaite réalisation dans la figure humaine".
Après l’analyse de l’homme idéal il examine les statues antiques et explique les différences entre sexes, races et stades de la vie de l’embryon au vieillard, puis considère la nature, les étoiles, les cristaux, les plantes et les animaux. En accord avec la vieille idée "natura naturans", Zeising déclare que l’homme doit continuer la nature dans ses propres créations en utilisant la Section Dorée. Il examine des oeuvres d’art comme le Parthénon- il est le premier à en publier une analyse où il trouve manifestation de la Section Dorée, la cathédrale de Cologne ou la Madone de Raphaël.
Il ne faut pas sous-estimer l’impact de Zeising. C’est lui qui a introduit la Section Dorée dans les écrits sur l’art. Il est véritablement l’inventeur de son rôle dans l’architecture et les arts picturaux.
En une étrange combinaison d’esthétique idéaliste et d’analyse prétendue scientifiquement exacte, il proclame une vérité simple sur les manifestations complexes de la nature et sur les formes divergentes de l’art, qui ne montre pas à cette époque de réelle unité. En un temps d’incertitude profonde, Zeising revient à une esthétique anthropocentrique et normative, qui semblait ne plus avoir cours depuis le Rationalisme français et l’Empirisme anglais au XVIIIème siècle. Il réhabilite l’homme comme le couronnement de la création à cette époque du débat darwinien, il réhabilite le concept de l’harmonie du cosmos, qu’il trouve en accord intelligible avec la production artistique de l’humanité. C’est probablement cette affirmation d’unité qui a valu à Zeising l’immense popularité de sa théorie formulée avec tant de conviction. De nombreux "disciples" adoptèrent de son vivant son axiome fondamental, et en étendirent l’application.
De toutes les tentatives de formulation d’une esthétique des proportions dans l’histoire de l’art, celles consacrées à la Section Dorée sont les plus nombreuses et les plus étendues.
Quoique ces morphologies universelles puissent être envisagées dans le cadre d’une tradition de positivisme rationnel, de nombreuses études métaphysiques sont apparues depuis le début du XXème siècle. La plus célèbre est celle de Mathyla Ghyka.
Par ailleurs un certain nombre d’artistes se sont laissé séduire par ces idées d’esthétique scientifique des proportions. Marguerite Neveux, après avoir présenté l’œuvre de Zeising et son influence, examine de manière critique les tentatives faites pour utiliser la Section Dorée à partir des dernières années du XIXème siècle. Desiderius Lenz, Jan Verkade, Paul Sérusier, Maurice Denis, Duchamp et son frère Jacques Villon, Juan Gris, Matisse, et deux architectes Ernest Neufert et Le Corbusier avec son célèbre Modulor. Rien de bien convaincant en effet dans toutes ces oeuvres.
Et pourtant le phénomène nombre d’or déferle sur le XXème siècle et l’on ne compte plus les publications à ce sujet. L’emploi des tracés régulateurs prétendant retrouver les vertus du nombre d’or dans les oeuvres d’art anciennes, acquiert un statut dans les écoles d’art et s’intègre dans la culture artistique. Sans tenir compte des critiques qui soulignent en particulier la sensibilité de ces reconstructions aux données utilisées, notamment à la manière dont sont effectuées les mesures. Echo d’une problématique que les mathématiciens connaissent bien mais que les historiens d’art ignorent : l’instabilité des problèmes inverses.
Des ouvrages comme ceux de Charles Bouleau ou d’Elisa Maillard, conservatrice du Musée de Cluny à Paris, contribuent à donner à ces spéculations une honorabilité dont tout un chacun se prévaut.
C’est ainsi que dans le catalogue accompagnant l’exposition Jean Fouquet à la Bibliothèque Nationale à Paris , une conservatrice se livre à une analyse détaillée, à coup de tracés géométriques, de l’emploi du nombre d’or par ce peintre du XVème siècle, qui n’a même pas eu comme le Vinci ou Dürer le bonheur de lire Luca Pacioli. La plaisanterie n’a plus de limite, avec la bénédiction du Directeur de la Bibliothèque Nationale.
En fait depuis le XIXème siècle, la pratique qui consiste à tracer des lignes sur des dessins de façades afin de révéler des systèmes invisibles de proportions est devenue tout à fait commune. Heinrich Wolfflin dans son analyse pionnière des églises de la Renaissance et du Baroque définit l’approche standard de l’analyse des proportions dans le plan et la façade. Au milieu du XXème siècle, lorsque Rudolf Wittkover publie son livre très influent : "Architectural principles in the age of humanism", les historiens de l’art et de l’architecture effectuaient des tracés " révélant" la section dorée dans d’innombrables monuments historiques, peintures et sculptures. Un exemple classique d’une telle démarche se trouve dans Rob Krier : "Architectural composition" en 1988. En 1947, Colin Rowe a publié un essai qui a eu beaucoup d’influence sur la "mode du nombre d’or" : "The mathematics of the ideal villa" où il compare les systèmes de proportions chez Palladio et le Corbusier.
Dans les trente années qui suivirent, de multiples conférences à travers le monde proclamèrent que la section dorée sous tend un système universel de la beauté.
Mais dans les années 70 des critiques commencent à se faire jour, et sont formulées dans des conférences dans les années 80 et 90. En France en 1995, Marguerite Neveux publie un essai critique fort remarqué. En 1998, une conférence organisée à Mantoue (Italie) par l’influente revue Nexus : "Nexus : Architecture and Mathematics", a été l’occasion d’un vif débat sur la moyenne dorée.
Débat inauguré par l’intervention de Marco Frascari et Livio Volpi Ghirardini : " Contra Divinam Proportionem".
Ils se livrent à une critique en règle de l’utilisation des mesures architecturales pour la mise en évidence de la section dorée, soulignant la diversité de ce que l’on peut mesurer dans un bâtiment. De ce fait les chercheurs utilisent trop souvent ce qui leur convient et ignorent ce qui ne confirme pas leurs vues. Par ailleurs on trouve en architecture de nombreux systèmes de proportions que l’on peut avec indulgence faire passer pour la section dorée : 5/3 ou 3/5, 8/5 ou 5/8. Notons par exemple que 5/8 = 0,625 alors que 1/F = 0,618, et que 5 et 8 sont deux nombres successifs de la suite de Fibonacci.
M. Neveux discute aussi ce point pour les peintres, pour lesquels la division des dimensions du tableau en huitièmes ( moitié, quart, demi-quart) est naturelle. Viollet le Duc avait déjà d’ailleurs remarqué que le rapport de 5 à 8, rapport que l’oeil ne peut définir, permet d’obtenir une dissemblance, un contraste, nécessaires pour satisfaire à la première loi des proportions.
En fait Le Corbusier lui même avait d’abord tenté d’utiliser le nombre d’or, mais trouvant les résultats peu satisfaisants, s’était rabattu sur 5/3 et 8/5. Ceci est examiné en détail dans le livre récent de Robin Evans : " The projective cast : Architecture and its three geometries", où l’on analyse la difficulté technique de mettre en évidence la section dorée, tout en concluant sur son absence en général dans l’architecture.
Les auteurs italiens remarquent ironiquement que Zeising et Gunter étaient sans doute très adroits dans la mesure des images, mais il est tout à fait clair qu’aucun des deux n’a jamais mesuré un édifice en suivant les principes de la tectonique.
En 1997 la revue "Empirical Studies of the Arts", organe de la Society for Empirical Aesthetics, a publié un numéro spécial sur la section dorée. Le diagnostique général est sévère. L’éditeur de ce recueil, Holgar Höge, déclare que l’hypothèse de la section dorée est un mythe, et annonce ses ultimes funérailles, en rapportant les expériences récentes montrant que contrairement à ce que prétendait le physiologiste Fechner au XIXème siècle, il n’y a pas de préférence avérée pour des cadres rectangulaires dont les côtés sont dans le rapport doré. Par ailleurs une étude statistique menée sur 565 tableaux de grands peintres de différentes époques confirme ce résultat. Les tableaux de Bellini, Caravaggio, Cézanne, Goya, Van Gogh, Delacroix, Pallady (un peintre roumain), Rembrandt, Toulouse Lautrec, ont été examinés pour déterminer le rapport entre les deux côtés du rectangle de la toile peinte. Les rapports trouvés vont de 1 à 1,46, avec pour valeur moyenne 1,34. Tout ceci est bien loin de 1,618.
En cherchant à fonder sur le nombre d’or une esthétique des proportions notre époque succombe avant tout à une illusion moderniste sur les anciennes conceptions des mathématiques et sur les conceptions de la beauté. D’une manière générale l’époque moderne, à partir du 17°siècle, est marquée par un remplacement progressif du concret par l’abstrait, et vouloir projeter ces conceptions abstraites dans le passé relève de l’anachronisme caractérisé. Ainsi le pythagorisme et le platonisme ne donnent pas au nombre et aux proportions le caractère abstrait qu’ils ont aujourd’hui. Quant à la notion abstraite de beauté créant une différence entre les beaux-arts et l’artisanat elle date somme toute du 18°siècle. Vouloir établir un canon universel de la beauté est une idée structuraliste en accord avec les pratiques des mathématiques contemporaines.