Systèmes
intégrables et théorie quantique des champs à
Peyresq III
Frédéric
Hélein & Joseph Kouneiher
du lundi 16 au
vendredi 20 juin
Depuis longtemps, la dualité est un
concept important en physique, aussi bien en mécanique
statistique qu'en théorie des champs. A de nombreux
égards, la dualité en théorie des champs et
en théorie des cordes peut être
considérée comme un principe
organisationnel.
Des mécanismes analogues existent dans
les dualités des théories quantiques des champs et
des systèmes complètement intégrables. Un
exemple en est la dualité électromagnétique
(classique) , une symétrie des équations de Maxwell
qui échange le champ électrique et le champ
magnétique. Cette dualité
électromagnétique peut être exploitée
en théorie quantique des champs d'une manière
différente. Un des exemples les plus simples est la
dualité entre le modèle de Sine-Gordon dans un
espace-temps à deux dimensions pour les champs bosoniques.
La généralisation de ces
mécanismes à des modèles quadridimensionnels
conduit Olive et Montonen à conjecturer une dualité
similaire (avec l'incorporation de l'idée du monopole de
Dirac) pour les équations de Yang-Mills
supersymétriques (En ce sens, il s'agit d'une
réalisation quantique de la dualité
électromagnétique de la théorie
(abélienne) de Maxwell). Ces idées ont
été le point de départ de la formulation de
Seiberg et Witten d'un modèle dual et de la
découverte de dualités similaires en théorie
des cordes.
Un autre phénomène qui est bien
illustré par l'exemple de dualité de Montonen-Olive
est le concept d'auto-dualité. Plus
précisément, la "nouvelle" théorie duale
découverte au second point du développement pourrait
bien être identique à la première. Nous
attirons plus particulièrement l'attention sur
:
1) le rôle unificateur des
équations de Yang-Mills auto-duales, qui contiennent de
nombreux exemples connus d'équation intégrable comme
réduction de symétrie .
2) la théorie des twisteurs des
équations auto-duales pour étudier la
géométrie de constructions
générales.
D'autres axes d'intérêt
concernent :
1) les extensions relativistes des
systèmes intégrables de Calogero-Moser pour les N
corps et leur lien exact avec des systèmes
intégrables (théoriques) des champs
2) la réalisation de leur structure
dynamique classique, vue comme une structure quadratique et
décrite avec des r-matrices, « comme de
réduction Hamiltonienne » .
Le colloque "Systèmes
intégrables et théorie quantique des champs à
Peyresq" est une manifestation informelle entre physiciens
théoriciens et mathématiciens, qui réunit des
personnes intéressées par les mathématiques
et la physique sur des sujets portant notamment sur les
systèmes intégrables en dimension infinie, la
théorie quantique des champs et sur les domaines à
l'intersection de ces questions tels que : la théorie des
twisteurs, la théorie de Seiberg-Witten et la
dualité en théorie des cordes, les champs de
Yang-Mills, …
